专题09 直线、平面平行的判定与性质（五大题型，重难点突破）-【课后优辅导】2024年春季高一数学下学期精品讲义（人教A版2019）

专题9 直线、平面平行的判定与性质 知识点一 直线与平面平行的判定 定理 条件 结论 图形语言 符号语言 判定 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行。 该直线与此平面平行 ⇒l∥α 知识点二 直线与平面平行的判定及性质 定理 条件 结论 图形语言 符号语言 判定 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行 该直线与此平面平行 ⇒l∥α 性质 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交 该直线与交线平行 ⇒l∥m 知识点三 平面与平面平行的判定 1．平面与平面平行的判定 (1)文字语言：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行． (2)符号语言：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α. (3)图形语言：如图所示． 知识点四 平面与平面平行的性质 1．平面与平面平行的性质定理 (1)文字语言：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行． (2)符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. (3)图形语言：如图所示． (4)作用：证明两直线平行． 重难点题型突破1 直线与直线平行 例1．（21-22高一·全国·课后作业）给出下列命题： ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等； ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补． 其中正确的命题有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 例2．（22-23高一下·浙江·期中）在直三棱柱中，，，E是的中点，则异面直线与所成的角的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 【变式训练1】、（20-21高一·全国·课后作业）(多选题)下列命题中，错误的结论有（    ） A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等 B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等 C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补 D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行 【变式训练2】、（21-22高二·全国·课后作业）如图，在正方体中，A、B、C、D分别是顶点或所在棱的中点，则A、B、C、D四点共面的图形 （填上所有正确答案的序号）． 例2．（23-24高二上·云南大理·期末）如图，在棱长为3的正方体中，分别为棱的中点． (1)证明：； (2)求三棱锥的体积． 【变式训练2】、（22-23高一下·湖北·期末）如图，在边长为2的正方体中，，分别是棱，的中点,    (1)求证：点在平面内； (2)用平面截正方体，将正方体分成两个几何体，两个几何体的体积分别为，，求的值. 重难点题型突破2 直线与平面平行的性质定理 例3．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）在空间中，直线平面的一个充要条件是（    ） A．内有一条直线与平行 B．内有无数条直线与平行 C．任意一条与垂直的直线都垂直于 D．存在一个与平行的平面经过 例4．（2023·全国·模拟预测）（多选题）已知三棱柱中，分别是的中点，则（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【变式训练3】、（21-22高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知直线a、b和平面，下面说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【变式训练4】、（22-23高一下·福建龙岩·期中）（多选题）下列说法中正确的是（    ） A．已知两直线平行于平面，那么直线一定平行 B．若直线平行，直线在平面内，则直线平行于平面内的无数条直线 C．若直线不平行于平面，则平面内的所有直线均与a异面 D．若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内 重难点题型突破3 直线与平面平行的判定定理 例5．（22-23高一下·重庆·阶段练习）已知如图所示，是正方形外一点，平面为中点，. (1)求证：平面； (2)三棱锥的体积. 例6．（2024·云南·一模）如图，平行六面体中，分别为的中点，在上. (1)求证：平面； (2)若平面，求平面与平面的夹角的余弦值. 【变式训练5】、（2024高三·全国·专题练习）在直三棱柱中，，，，D是的中点.    (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【变式训练6】、（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，四棱锥的底面是边长为3的正方形，为侧棱的中点． (1)证明：平面； (2)若底面，且，求四棱锥的表面积． 重难点题型突破4 平面与平面平行的性质定理 例7．（23-24高二上·重庆沙坪坝·开学考试）（多选题）设a，b是空