空间向量与立体几何 限时练-2024届高三数学二轮专题复习

空间向量与立体几何专题复习限时练 1．（2022·全国·高考真题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． (1)求A到平面的距离； (2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 2．（2023·全国·高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． (1)证明：； (2)点F满足，求二面角的正弦值． 3.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是边长为2的等边三角形，，M在PC上，且PA平面MBD．  (1)求证：M是PC的中点.（线面平行的性质定理） (2)在PA上是否存在点F，使二面角F-BD-M为直角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 4．如图在四棱锥中，为菱形. (1)证明：； (2)若，求平面与平面所成二面角的正弦值. 5.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，过AB1E的平面截此正方体，得如图所示的多面体，F为棱CC1上的动点． （1）点H在棱BC上，当CH=CB时，FH∥平面AEB1，试确定动点F在棱CC1上的位置，并说明理由； （2）若AB=2，求点D到平面AEF的最大距离． 立体几何限时练答案： 1【解析】（1）在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h， 则， 解得，所以点A到平面的距离为； （2）取的中点E,连接AE,如图，因为，所以, 又平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 在直三棱柱中，平面， 由平面，平面可得，， 又平面且相交，所以平面， 所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图， 由（1）得，所以，，所以， 则,所以的中点， 则，, 设平面的一个法向量，则， 可取， 设平面的一个法向量，则， 可取， 则， 所以二面角的正弦值为. 2【解析】（1）连接，因为E为BC中点，，所以①， 因为，，所以与均为等边三角形， ，从而②，由①②，，平面， 所以，平面，而平面，所以． （2）不妨设，，． ，，又，平面平面． 以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：    设， 设平面与平面的一个法向量分别为， 二面角平面角为,而， 因为，所以，即有， ，取，所以； ，取，所以， 所以，，从而． 所以二面角的正弦值为． 4．【详解】（1）记交于点，连接. 因为是菱形，所以，且为的中点. 因为，所以， 又因为平面，且，所以平面， 因为平面，所以. （2）取的中点，连接交于点，连接. 因为，所以是等边三角形，所以. 又因为，故平面， 所以平面.又平面，所以. 由（1）知，且，所以平面. 不妨设，则. 在中，由，得，所以. 以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴，过点作垂直平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以. 设平面的法向量为， 所以， 令得； 设平面的法向量为， 所以， 令得. 故， 所以平面与平面所成二面角的正弦值为. 6.解析 解: (1) 取 的中点 , 则 的中点为 , 连接 , 所以 , 又 , 所以 , 又 面 面 , 所以 面 又因为 为 的中点, 所以 为 的中点. (2) 如图, 以 为坐标原点, 建立空间直角坐标系, 设 , 则 , 设平面 的一个法向量为 , 则 设平面 的一个法向量为 , 则 令 , 则 设点 到平面 的距离为 , 则 , 当 时, . 学科网（北京）股份有限公司 $$