2.2.1向量的加法课件-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第二章 2 从位移的合成到向量的加减法 2.1 向量的加法 导语 我们知道,数能进行运算,因为有了运算而使数的威力无穷,那么,向量是否也能像数一样进行运算呢? 唐僧当年取经的路线是从东土大唐出发,先绕到新疆,再往天竺,若孙悟空单独前往,可以直接飞往西天,两种走法的位移相同吗?如果把位移看成向量,从向量的物理背景和数的运算中得到启发,我们就引入了向量的运算. 内容索引 课时对点练 一、向量加法的平行四边形法则 二、向量加法的三角形法则 三、向量加法的运算律 随堂演练 四、向量加法的实际应用 3 向量加法的平行四边形法则 一 问题1 两个向量相加就是两个向量的模相加吗? 提示 不是,向量相加要考虑大小及方向,而模相加是数量的加法. 提示 如图所示. 1.向量加法的定义 求_的运算,称为向量的加法. 2.向量加法的平行四边形法则 知识梳理 两个向量和 平行四边形 (1)a,b,a+b同起点. (2)仅适用于不共线的两个向量求和. (3)对于零向量与任意向量a,规定a+0=0+a=a. 注意点: 例1 如图所示,用向量加法的平行四边形法则作出a+b. 8 反思感悟 应用平行四边形法则求向量和的基本步骤 (1)平移两个不共线的向量使之共起点. (2)以这两个已知向量为邻边作平行四边形. (3)平行四边形中,与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和. 跟踪训练1 向量加法的三角形法则 二 11 问题3 假如家住石家庄的张先生准备去北京出差,他乘飞机先从石家庄到天津,再乘火车从天津到北京,则张先生的位移是多少? 提示 如图所示. 知识梳理 三角形 2.向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系 三角形法则 平行四边形法则 区别 (1)首尾相接; (2)适用于任何两个非零向量求和 (1)共起点; (2)仅适用于不共线的两个向量求和 14 推广 15 3.平面向量加法的三角形不等式 在||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|中,当且仅当a与b同向或反向时取等号. 16 (1)首尾相接,再首尾连. (2)适用于所有向量求和. (3)a+(-a)=(-a)+a=0. 注意点: (1)如图①所示,求作向量a+b; 例2 (2)如图②所示,求作向量a+b+c. 方法一 (三角形法则)如图④所示, 方法二 (平行四边形法则)如图⑤所示, 首先在平面内任取一点O, 以OA,OB为邻边作 OADB,连接OD, 再以OD,OC为邻边作 ODEC,连接OE, 21 反思感悟 应用三角形法则求向量和的基本步骤 (1)平移向量使之“首尾相接”,即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合. (2)以第一个向量的起点为起点,并以第二个向量的终点为终点的向量,即为两个向量的和. 跟踪训练2 如图所示,O为正六边形ABCDEF的中心,化简下列向量. 0 向量加法的运算律 三 26 问题4 实数的加法运算满足结合律,即对任意a,b,c∈R,都有(a+b)+c=a+(b+c).那么向量的加法也满足结合律吗?如何检验? 提示 满足,如图,检验如下: 所以(a+b)+c=a+(b+c). 问题5 实数的加法运算满足交换律,即对任意a,b∈R,都有a+b=b+a,那么向量的加法也满足交换律吗?如何检验? 提示 满足,如图,检验如下: 所以a+b=b+a. 知识梳理 交换律 a+b=_ 结合律 (a+b)+c=_ b+a a+(b+c) (1)当向量共线时,向量加法的交换律和结合律也成立. (2)多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行. 注意点: 例3 化简: 反思感悟 向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义:向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据,实现了恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上,由于向量的加法满足交换律和结合律,故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. (2)应用原则:通过向量加法的交换律,使各向量“首尾相连”,通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序. 跟踪训练3 向量加法的实际应用 四 35 例4 ∴∠AOC=60 , ∴小船的实际航行速度为20 km/h,沿北偏东30 的方向航行. 反思感悟 应用向量解决实际问题的基本步骤 (1)表示:用向量表示有关量,将所要解答的问题转化为向量问题. (2)运算:应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则,将有关向量进行运算,解答向量问题. (3)还原:根据向量的运算结果,结合向量共线、相等等概念回答原问题. 38 跟踪训练4 如图,用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上,∠ACW=150 ,∠BCW=120 ,求A和B处所受力的大小.(绳子的重量忽略不计) 由题意可得∠ECG=180 -150 =30 , ∠FCG=180 -120 =60 . 课堂 小结 1.知识