16.1 第1课时 二次根式的概念 课件 2023-2024学年人教版数学八年级下册

第十六章 二次根式 16.1 二根次式 第1课时 二次根式的概念 1.会判断一个式子是不是二次根式. 2.会求被开方数中所含字母的取值范围. 重点难点： 1.理解二次根式的概念．      2.掌握二次根式有意义的条件. 3.会利用二次根式的非负性解决相关问题. 学习目标： 情景导入 思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？ (1)一张海报为正方形，若面积为2 m2，则边长为_____m；若面积为S m2，则边长为_____m． (2)一张的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6 m2，则它的宽为_____m． (3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有 h 的式子表示 t ，那么 t 为_____． 问题1 这些式子分别表示什么意义？ 分别表示2，S，3， 的算术平方根． 上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ， ． ①根指数都为2; ②被开方数为非负数. 问题2 这些式子有什么共同特征？ 一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号.注意：a可以是数，也可以是式. 两个必备特征 ①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数a ≥ 0 知识精讲 知识点一 二次根式的概念 被开方数可以是非负的数或单项式、多项式、分式等 例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ 解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(2)(3)(5)(7)均不是二次根式. 是否含二次根号 被开方数是不是非负数 二次根式 不是二次根式 是 是 否 否 分析： 解：设长方形的长、宽分别为3x cm，2x cm， 由题意得2x×3＝18， 解得x ＝ (负值舍去)． 答：长方形的长、宽应分别取3 cm和2 cm. 1.要画一个面积为 18 cm2的长方形，使它的长与宽之比为3 : 2，它的长、宽各应取多少？ 针对练习 3.下列式子不一定是二次根式的是(　　) A. B. C. D. 2.下列式子一定是二次根式的是( ) A. B. C. D. C A 4.下列式子： 中，一定是二次根式的有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 C 知识点二 二次根式有意义的条件 式子 只有在条件a≥0时才叫二次根式．即a≥0是 为二次根式的前提条件. 1．二次根式有意义的条件是被开方数(式)为非负数；反 之也成立，即： 有意义⇔a≥0. 2．二次根式无意义的条件是被开方数(式)为负数；反之 也成立，即： 无意义⇔a＜0. 总结： 例2 当x是怎样的实数时, 在实数范围内有意义? 解：由 x-2 ≥ 0，得 x ≥ 2. 当x ≥ 2时， 在实数范围内有意义. 【变式题1】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 解：（1）由题意得x－1＞0， ∴x＞1. 解：（2）∵被开方数需大于或等于零， ∴3+x≥0，∴x≥－3. ∵分母不能等于零， ∴x－1≠0，∴x≠1. ∴x≥－3 且x≠1. 归纳：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若式子为分式，应同时考虑分母不为零. 【变式题2】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 解：(1)∵无论x为何实数， ∴当x=1时， 在实数范围内有意义. (2)∵无论x为何实数，－x2－2x－3=－(x+1)2－2＜0， ∴无论x为何实数， 在实数范围内都无意义. 归纳：被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论. (2)多个二次根式相加如 有意义的条件： (3)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件： A＞0； (4)二次根式与分式的和如 有意义的条件：A≥0且B≠0. (1)单个二次根式如 有意义的条件：A≥0； 归纳： 1.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) (2) (3) (4) 解：(1)由a－1≥0，得a≥1，所以