18.2.2 菱形讲义 2023—2024学年人教版数学八年级下册

专题-菱形讲义 知识点梳理→课本 板书 例题1、①已知菱形的对角线，则菱形的周长为 ，面积为 ． ②如图所示，菱形的对角线、相交于点．若，，，垂足为，则的长为 ．    例题2．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE=AC，连接AE交OD于点F，连接CE、OE， (1)求证：四边形OCED为矩形： (2)若菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，求AE的长. 例题3、在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． (1)求证：△AEF≌△DEB； (2)证明四边形ADCF是菱形； (3)若AC=4，AB=5，求菱形ADCF 的面积． 例题4、如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分．过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，则______． 例题5·．如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点． (1)判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论； (2)当BD，AC满足 时，四边形EFGH是菱形． 能力提升 1．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，，则EF的最小值为 ． 2．如图，菱形ABCD的周长为16，∠ADC=120º，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是 .    3．如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF．若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF= cm． 4、如图，已知菱形的边长为，，为的中点，若为对角线上一动点，则的最小值为 ． 5．如图，边长为的菱形中，，则菱形的面积是 ，连结对角线，以为边作第二个菱形，使；连结，再以为边作第三个菱形，使；，按此规律所作的第个菱形的面积为 ． 6．如图，在等边中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，同时点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为． (1)连接，当经过边的中点时，求证：； (2)①求当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形； ②求当为何值时，四边形是菱形． 7．如图所示，在中，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D、E运动的时间是t秒（），过点D作于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能．请说明理由． 练习题 1．如图，菱形中的对角线相交于点O，，．求证：四边形是矩形． 2．如图，在四边形中，，，对角线的垂直平分线与边、分别交于点F，E． (1)猜想图中四边形的形状是______形，并证明你的猜想； (2)若，，求四边形的周长． 3．如图，等腰中，平分交于点，延长至点，使，连接，，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的面积． 5．在中，，C是的中点，过点D作，且，连接交于F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，菱形的面积为40，求的长． 6．如图，菱形的对角线，相交于点O，分别过点B和C作，． (1)求证：四边形是矩形． (2)连接交于点P，连接．若，求的长． 7．如图，已知以△ABC的三边为边，在BC的同侧分别作等边三角形ABD、BCE和ACF． (1)求证：四边形ADEF是平行四边形； (2)△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？是矩形？并说明理由； (3)这样的平行四边形ADEF是否总是存在？请说明理由． 8．已知菱形ABCD中，点P在CD上，连接AP． (1)在BC上取点Q，使得∠PAQ＝∠B， ①图1，当AP⊥CD于点P时，线段AP与AQ之间的数量关系是 　 　． ②如图2，当AP与CD不垂直时，判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明，若不成立，则需说明理由． (2)在CD的延长线取点N，使得∠PAN＝∠B，若AB＝4，∠B＝60°，∠ANC＝45°请依题意画出图形并求此时线段DN的长． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$