专题01 奔驰定理与三角形“四心”（考题猜想，6种题型）-2023-2024学年高一数学下学期期中考点大串讲（苏教版2019必修第二册）

专题01 奔驰定理与三角形“四心” 一．三角形“重心”向量式 1．若所在平面内一点P满足，则P是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 2．已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（ ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 3．在中，，，且，，则点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心 4．已知点P是的重心，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知是所在平面内一定点，动点满足，则动点的轨迹一定过的 .（选填：外心、内心、垂心、重心） 二．三角形“垂心”向量式 6．设为的外心，若，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 7．若是内一点，且，则为的（    ） A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心 8．已知点O为△ABC所在平面内一点，且，则O一定为△ABC的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 9．若为所在平面内一点，且则点是的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 10．已知是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 三．三角形“内心”向量式 11．已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 12．已知为所在平面上的一点，且.若，则是的（    ） A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心 13．已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定通过的（　　） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 14．已知，是其内心，内角所对的边分别，则（    ） A． B． C． D． 15．已知三个不共线的向量满足，则为的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 四．三角形“外心”向量式 16．点O在ABC所在的平面内，若，则O为ABC的（    ） A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心 17．已知所在平面上的动点满足，则点的轨迹过的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 18．在中，设，那么动点的轨迹必通过的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 19．已知是边上的点，且为的外心，则的值为（    ） A． B．10 C． D．9 20．某同学在查阅资料时，发现一个结论：已知O是内的一点，且存在，使得，则．请以此结论回答：已知在中，，，O是的外心，且，则 ． 五．奔驰定理解决三角形面积比 21．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足，则△ACO与△CBP面积比为（    ） A．5:6 B．3:4 C．2:3 D．1:2 22．点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（    ） A． B．3 C． D． 23．已知点O在内，且，，则（    ） A．1 B． C． D． 24．已知P是内部一点，且，则面积之比为（    ） A．1：3：5 B．5：3：1 C．1：9：25 D．25：9：1 25．已知是所在平面内的一点，，，所对的边分别为，，，若，过作直线分别交、(不与端点重合)于、，若，，若与的面积之比为，则（    ） A． B． C． D． 六．奔驰定理的综合应用 26．（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，则.设是锐角内的一点，、、分别是的三个内角，以下命题正确的有（    ） A．若，则 B．，，，则 C．若为的内心，，则 D．若为的重心，则 27．（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（    ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若M为的垂心，，则 D．若，，M为的外心，则 28．（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”奔驰定理：已知O是内的一点，，，的面积分别为，，，则.若O是锐角内的一点，A，B，C是的三个内角，且点O满足.则（    ） A．O为的外心 B． C． D． 29．（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形四心（重心、内心