三角函数中的综合问题课件-2025届高三数学一轮复习

解答题专项❷ 三角函数中的综合问题 考情分析:三角函数是高考的必考内容,在近几年的高考试卷中,三角函数解答题以考查三角函数的基本知识、基本方法为主,渗透综合应用能力的考查,对学生的综合素养要求较高,一般处在解答题的前两个题目位置,对逻辑推理、数学运算、数学建模等多个数学核心素养都有较深入的考查. 考点一 三角函数的图象与性质问题 例1已知函数f(x)=cos2x-sin2x,g(x)=f(x)·f(x- ). (1)求g(x)的单调递增区间; (2)若三角形ABC的三边a,b,c满足(a+b)2-c2=ab,求g(A)的取值范围. 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 变式探究 (变条件变结论)本例中,若条件变为g(x)=f(x)+f(x- ),且h(x)=g(-x),求h(x)的单调递增区间. 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 (2)设f(x)的最小正周期为T,因为f(x)图象相邻两个对称中心之间的距离大 考点一 考点二 考点三 考点二 正弦、余弦定理的综合应用 例2(2024·江苏苏锡常镇模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos B+(b+2c)cos A=0. (1)求A; (2)若点D在边BC上,BD=2DC,AD=2,c=2b,求△ABC的面积. 解 (1)由正弦定理,得sin Acos B+(sin B+2sin C)cos A=0, 整理得sin(A+B)+2sin Ccos A=0. 因为sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,sin C≠0,所以有2cos A+1=0, 考点一 考点二 考点三 即c2=6x2-2b2+12. 又c=2b,所以b2=x2+2. 在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A. 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 [对点训练2](2023·全国甲,文17)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 考点一 考点二 考点三 在△ABC中,A+B+C=π, 则sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B. ①式变形为sin Acos B-sin Bcos A-sin B=sin Acos B+cos Asin B, 即-sin B=2sin Bcos A. 考点一 考点二 考点三 考点三 解三角形与三角函数的综合问题 例3(12分)(2022·新高考Ⅰ,18)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已 突破口:二倍角公式化简. 关键点:找到角B与角C,A的关系. 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 通过三角恒等变换化简 　　　　　　　　 需注明角的范围 考点一 考点二 考点三 将角统一为角B 考点一 考点二 考点三 运用正弦定理将边化为角 　　　　　 应用均值不等式需分析等号成立的条件 考点一 考点二 考点三 构造函数并注明定义域 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 [对点训练3](10分)(2024·广东茂名模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足tan B= . (1)求A; (2)若D为边BC上一点,且2CD=AD=BD,试判断△ABC的形状. 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 解 (1)由题意得f(x)=cos2x-sin2x=cos 2x, 所以g(x)=f(x)·f(x-)=cos 2x·cos(2x-) =cos 2x(cos 2xcos+sin 2xsin) =-cos22x+sin 2xcos 2x =sin 4x-cos 4x)- =sin(4x-)- 令2kπ-4x-2kπ+,k∈Z, 解得x,k∈Z, 所以函数g(x)的单调递增区间为[](k∈Z). (2)由(a+b)2-c2=ab可得a2+b2-c2=-ab,由余弦定理,得cos C==-, 所以C= 因此A+B=,所以A∈(0,). 4A-(-), 于是sin(4A-)∈(-,1],g(A)=sin(4A-)-, 故g(A)的取值范围为(-]. 解 由于f(x)=cos 2x, 所以g(x)=f(x)+f(x-) =cos 2x+cos(2x-) =cos 2x-cos 2x+sin 2x =sin 2x+cos 2x=sin(2x+), 因此h(x)=g(-x)=sin(-2x+)=-sin(2x-), 令2kπ+2x-2kπ+,k∈Z, 解