5.8解三角形的实际应用课件-2025届高三数学一轮复习

第8节 解三角形的实际应用 课标解读 能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题. 1 强基础 固本增分 2 研考点 精准突破 目录索引 1 强基础 固本增分 知识梳理 1.实际测量中的有关几个术语 术语 名称 术语意义 图形表示 仰角与 俯角 在目标视线与水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的叫做仰角,目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位角α的范围是0°≤α<360° 术语 名称 术语意义 图形表示 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表达为北(南)偏东(西)α 例:(1)北偏东α: (2)南偏西α: 坡角与 坡比 坡面与水平面所成二面角的度数叫做坡度,θ为坡角;坡面的垂直高度与水平长度 之比叫坡比,即i= =tan θ 2.解三角形实际应用题的步骤 所谓解三角形,就是已知三角形的几个元素(边或角)求其余元素的过程 微点拨要厘清各种角的含义,尤其是方位角和方向角,解题中出现较多的是方向角. 自主诊断 题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”) 1.东南方向就是指南偏东45°的方向.(　　) 2.若从A处看B处的仰角为α,从B处看A处的俯角为β,则α+β=180°.(　　) 3.点A在B的南偏西20°方向上,若以点B为基点,点A的方位角为200°.(　　) 4.俯角是铅垂线与目标视线所成的角,其取值范围是[0, ].(　　) √ × √ × 题组二回源教材 5.(人教B版必修第四册9.2节例1改编)如图所示,A,B是某沼泽地上不便到达的两点,C,D是可到达的两点.已知A,B,C,D4点都在水平面上,而且已经测得∠ACB=45°,∠BCD=30°,∠CDA=45°,∠BDA=15°,CD=100 m,则AB的 长为　　　　 m.  解析 因为A,B,C,D 4点都在水平面上,所以∠BDC=∠BDA+∠CDA =15°+45°=60°,因此∠CBD=180°-30°-60°=90°,所以在Rt△BCD 6.(人教A版必修第二册6.4.3节例10)如图所示,AB是底部B不可到达的一座建筑物,A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度AB的方法,并求出建筑物的高度. 解 如图所示,选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上,在G,H两点用测角仪器测得A的仰角分别是α,β,CD=a,测角仪器的高是h,那么,在 题组三连线高考 7.(2021·全国甲,理8)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位:m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图,现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'满足∠A'C'B'=45°,∠A'B'C'=60°.由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100;由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为( ≈1.732)(　　) A.346 B.373 C.446 D.473 B 解析 如图,过点C作CD⊥BB',垂足为点D,过点D作DE⊥AA',垂足为点E,连接CE,过点B作BF⊥AA',垂足为点F,则由题意可得∠BCD=15°, ∠ABF=45°,FE=BD=BB'-CC'=100,AF=BF=DE,所以AA'-CC'=BF+100.易得CD∥C'B',DE∥B'A',EC∥A'C',所以∠ECD=∠A'C'B'=45°, ∠EDC=∠A'B'C'=60°.在Rt△CDB中, 8.(2021·全国乙,理9)魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海岛的高.如图,点E,H,G在水平线AC上,DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG称为“表距”,GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目距的差”,则海岛的高AB=(　　) A 2 研考点 精准突破 考点一 解三角形在实际测量问题中的应用(多考向探究预测) 考向1测量距离问题 例1(多选题)(2024·安徽池州模拟)如图所示,为了测量A,B处岛屿的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向,再往正东方向行驶30海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则下列结论正确的是(　　) A.∠CAD=60° BC 考点一 考点二 解析 由题意可知CD=30,∠ADC=90°+15°=105°,∠BDC=45°, ∠BCD=90°,∠ACD=90°-∠BCA=90°-60°=30°,所以∠CAD=180°