5.7正弦定理和余弦定理课件-2025届高三数学一轮复习

第7节 正弦定理和余弦定理 课标解读 1.通过对三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. 2.会用三角形的面积公式解决与面积有关的计算问题. 3.会用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形中的综合问题. 1 强基础 固本增分 2 研考点 精准突破 目录索引 1 强基础 固本增分 知识梳理 1.正弦定理和余弦定理 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,R为△ABC外接圆的半径,则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 =　　　　　=　　　　=2R  a2=　　　　 　　,  b2=a2+c2-2accos B, c2=　　　 　　  常见 变形 (1)a=　　　　　, b=　　　　　,  c=　　　　　.  (2)sin A=　　　,sin B=　　　　, sin C=　　　　.  (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C cos A=　　　 　,  cos B=　　 　　,  cos C=　　 　  不要错以为a=sin A b2+c2-2bccos A　 a2+b2-2abcos C 2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C 定理 正弦定理 余弦定理 可解 决的 问题 (1)已知两角和任一边,求另一角和其他两条边; (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角(该三角形具有不唯一性) (1)已知三边,求各角; (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角; (3)已知两边和其中一边的对角,求其他角和边 微点拨在三角形中大边对大角,大角对大边. 微思考在△ABC中,∠A>∠B是sin A>sin B的什么条件? 提示 在△ABC中,∠A>∠B⇔a>b⇔sin A>sin B,即∠A>∠B是sin A>sin B成立的充要条件. 2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况 A的情况 A为锐角 A为钝角 或直角 图形 关系式 a=bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 3.三角形的面积公式 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则面积S= absin C= 　　　　　　=　　　　　.  公式中是两条边和夹角的正弦 微点拨△ABC的面积公式的其他形式 常用结论 3.三角形中的射影定理 在△ABC中,a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A;c=bcos A+acos B. 自主诊断 题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”) 1.三角形中的三边之比等于相应的三个内角之比.(　　) 2.在三角形中,已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形.(　　) 3.在△ABC的内角A,B,C,边长a,b,c中,已知任意三个可求其他三个.(　　) 4.在△ABC中,a2+b2<c2是△ABC为钝角三角形的充分不必要条件.(　　) × √ × √ 题组二回源教材 5.(人教A版必修第二册6.4.3节例8改编)在△ABC中,已知B=30°,b= , c=2,则角A=　　　 　.  15°或105° 解析 由正弦定理,得sin C= ,因为c>b,B=30°,所以30°<C<180°.于是C=45°,或C=135°.当C=45°时,A=105°,当C=135°时,A=15°. 6.(人教B版必修第四册9.1.1节例3改编)已知△ABC中,b= ,c=6,B=120°,则△ABC的面积是　　　　.  题组三连线高考 7.(2023·全国乙,文4)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 C 解析 由acos B-bcos A=c及正弦定理,得sin Acos B-sin Bcos A=sin C,即sin(A-B)=sin C. D 解析 设BC=x,由余弦定理得19=4+x2-2×2x·cos 120°,解得x=3或x=-5(舍去).故选D. 2 研考点 精准突破 考点一 利用正弦、余弦定理求解三角形的基本量 例1(1)(2024·湖南长郡、雅礼等名校联考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分 B 考点一 考点二 考点三 (2)(2023·北京,7)在△ABC中,(a+c)·(sin A-sin C)=b(sin A-sin B),则∠C=(　　) B 考点一 考点二 考点三 (3)(2024·广东广州模拟)在△ABC中,点D在边BC上,AB=