5.3两角和与差的三角函数二倍角公式课件-2025届高三数学一轮复习

第3节 两角和与差的三角函数、二倍角公式 课标解读 1.经历推导两角差余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义. 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系,能运用这些公式解决相关的求值与化简问题. 1 强基础 固本增分 2 研考点 精准突破 目录索引 1 强基础 固本增分 知识梳理 1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 微点拨(1)在两角和与差的正切公式中,tan α,tan β,tan(α±β)只要有一个不存在就不能使用. (2)公式中的α,β都是任意角,也可以是几个角的组合. 2.辅助角公式 asin x+bcos x(a,b为常数)可以化为　　　　　　　　　的形式,其中 3.二倍角的正弦、余弦、正切公式 名称 公式 简记 使用条件 二倍角的正弦 sin 2α=　 　  S2α α,β∈R 二倍角的余弦 cos 2α=　　 　　= 　　　　　=　　　　　  C2α α,β∈R 二倍角的正切 tan 2α=　 　　  T2α α,2α≠kπ+ (k∈Z) 2sin αcos α cos2α-sin2α　 2cos2α-1 1-2sin2α 微点拨(1)二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切公式中α=β的特殊情况. (2)对二倍角余弦公式进行变形可得降幂公式: ,其实质是用倍角的余弦值表示单角正弦值和余弦值的平方,从降幂公式可以看出,在降幂的同时,角扩大为原来的2倍,因此又称“降幂扩角公式”. 常用结论 2.两角和与差的正切公式的变形: (1)tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β); (2)tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β). 3.升幂公式:1±sin 2α=(sin α±cos α)2;1+cos 2α=2cos2α;1-cos 2α=2sin2α. 5.在非直角三角形ABC中,tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C. 自主诊断 题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”) 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式中的角α,β是任意的.(　　) × × √ × 题组二回源教材 5.(人教A版必修第一册5.5.1节例6改编)在△ABC中,cos A= ,tan B=2,则tan(2A+2B)=　　　　.  6.(人教A版必修第一册5.5.1节第220页练习第5题改编)已知 题组三连线高考 A 2 研考点 精准突破 考点一 和、差、倍角公式的简单应用 B 考点一 考点二 考点三 D 考点一 考点二 考点三 (3)(2024·广东广州模拟)若tan β= ,则(　　) A.tan(α-β)=1 B.tan(α-β)=-1 C.tan(α+β)=1 D.tan(α+β)=-1 A 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 考点二 和、差、倍角公式的逆用与变形(多考向探究预测) 考向1公式的逆用与辅助角公式 AD 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 (2)(2020·北京,14)若函数f(x)=sin(x+φ)+cos x的最大值为2,则常数φ的一个取值为　　　　.  考点一 考点二 考点三 考向2公式的变形 A 考点一 考点二 考点三 (2)(2024·山东德州模拟)若α,β为锐角,且α+β= ,则(1+tan α)(1+tan β) =　　　　.  2 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 B 考点一 考点二 考点三 A.tan(α+β)=-1 B.tan(α+β)=1 C.tan(α-β)=-1 D.tan(α-β)=1 C 考点一 考点二 考点三 考点三 角的变换 D 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 (2)(2024·山东烟台模拟)已知α,β满足sin(2α+β)=cos β,tan α=2,则tan β的值为(　　) A 解析 因为sin(2α+β)=cos β,所以sin(α+α+β)=cos(α+β-α),即 sin αcos(α+β)+cos αsin(α+β)=cos(α+β)cos α+sin αsin(α+β),① 显然cos α≠0,①式两边同时除以cos α,得tan αcos(α+β)+sin(α+β) =cos(α+β)+tan αsin(α+β),又tan α=2,所以2cos(α+β)+sin(α+β) =cos(α+β)+2s