5.4.2.1正弦函数和余弦函数的性质 周期性 奇偶性课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

周期性与奇偶性 5.4.2正弦函数、余弦函数的性质 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义; 2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期; 3.掌握函数y＝sin x，y＝cos x的奇偶性,会判断简单三角函数的奇偶性. 学习目标 重点:正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性. 难点:正弦函数、余弦函数的周期性（最小正周期）意义及应用. 数形结合 利用正、余弦函数图象研究图象的交点 [例3](1)方程x2－cos x＝0的实数解的个数是______； (2)方程sin x＝lg x的解的个数是________． 1.观察上图, 正弦曲线每相隔 个单位重复出现. 2.其理论依据是什么? 3.当自变量x的值增加2π的整数倍时,函数值“周而复始”的出现. 2π 数学上,用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律. 复习回顾 1.对于函数f(x),如果存在一个 ,使得当x取定义域内的 值时,都有 ,那么函数f(x)就叫作周期函数, 叫作这个函数的周期. 一、函数的周期性 非零的常数T 每一个 f(x+T)=f(x) 非零的常数T ∴余弦函数y=cosx也是周期函数,周期是 . 2.对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个 ,那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期. 最小的正数 说明:我们现在谈到三角函数周期时,如果不加特别说明,一般都是指的最小正周期. 求下列函数的周期: 典例分析 方法1:定义法 函数 周期 二、正弦、余弦函数周期探究 问题:函数的周期与解析式中的哪些量有关系？ 周期的计算公式是 . 1.求下列函数的周期 检测训练 1．已知f(x)＝2cosx， 则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(13)＝________. 解析：易知f(x)的最小正周期T＝6， 则有f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0. 则f(0)＋f(1)＋…＋f(13) ＝2[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(12)＋f(13) ＝f(12)＋f(13) ＝f(0)＋f(1)＝2＋1＝3. 3 2．已知f(x)＝cos 的最小正周期不大于3，则正整数k的最小值应是_______. 变式训练 三、正弦函数、余弦函数的奇偶性 奇函数 偶函数 由函数奇偶性定义或图像知正弦、余弦函数的奇偶性 [例3]　下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？ (1)y＝2sin x；(2)y＝1－cos x； (3)y＝x＋sin x；(4)y＝－sin xcos x. 分析：根据诱导公式和奇、偶函数的定义判断即可． 检测训练 大本 [解析]　(1)∀x∈R，－x∈R， f(－x)＝2sin(－x)＝－2sin x＝－f(x)， ∴原函数为奇函数． (2)∀x∈R，－x∈R， f(－x)＝1－cos(－x)＝1－cos x＝f(x)， ∴原函数为偶函数． (3)∀x∈R，－x∈R， f(－x)＝－x＋sin(－x)＝－x－sin x＝－(x＋sin x)＝－f(x)， ∴原函数为奇函数． (4)∀x∈R，－x∈R， f(－x)＝－sin(－x)cos(－x)＝sin xcos x＝－f(x)， ∴原函数为奇函数． 　正弦函数、余弦函数的对称性 (kπ，0)，k∈Z 难点 A 检测训练 C 变式训练 1．知识清单：(1)周期函数的定义． (2)正弦函数、余弦函数的周期性． (3)正弦函数、余弦函数的奇偶性． (4)正弦函数、余弦函数的对称性． 2．方法归纳：换元法、定义法． 3．常见误区：判定函数奇偶性时易忽略函数定义域． 作业：课时作业（五十五） 解析式 y＝sin x y＝cos x 对称轴 x＝＋kπ，k∈Z ___________ 对称中心 ______________ ，k∈Z $$