5.2.1三角函数的概念课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章 三角函数 5.2.1三角函数的概念 1 重点：借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义 教学目标 难点：影响单位圆上点的坐标变化的因素分析，三角函数内在联系性的认识 2 复习回顾 回顾 你能回忆初中所学的直角三角形中锐角三角形的概念吗？你能在下面的直角三角形中找到锐角的三角函数值吗？ 3 新课导入 我们知道，函数是描述客观世界运动变化规律的数学模型。 如：直线运动-----一次函数；抛物运动-----二次函数； 指数爆炸-----指数函数；对数增长-----对数函数； 那么圆周运动-----用什么函数模型刻画呢？ 前面我们研究函数的一般概念、幂函数、指数函数和对数函数, 基本按照“背景——概念——图象与性质——应用”路径进行探究。 今天我们继续按照研究函数的一般方法来展开探究。 4 新知探究 探究一：三角函数的概念 角 实数 弧度制 在弧度制下，我们已经把角的范围扩展到全体实数. 不失一般性，先研究单位圆上点的运动. 5 新知讲解       如图，单位圆上的点以为起点做逆时针方向旋转，现在的任务是：建立一个数学函数模型，刻画点的位置变化情况. 追问1 我们该如何将图像上的信息进行量化呢？ 利用直角坐标系 如图，以单位圆的圆心O为原点， 以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，则A(1,0)，P(x,y). 射线OA从x轴非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP.     P 6 新知讲解 当角α确定时，点P的横坐标和纵坐标都是唯一确定的 点P的横坐标x、纵坐标y都是关于角α的函数 函数的概念 问题3 怎样命名此类关于角∠α的函数呢？ 7 概念生成 设∠α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位圆相交于点 （1）把点P的纵坐标y叫做∠α的正弦函数，记作sinα 即 （2）把点P的横坐标x叫做∠α的余弦函数，记作cosα 即 （3）把点P的纵坐标和横坐标的比值叫做∠α的正切函数，记作tanα， 即=tanα(). 我们把正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数. 注意：无论角是第几象限角，它的三角函数的定义都是一样。 8 概念生成 习惯上，我们用x表示自变量，y表示因变量。 通常将它们记为： 正弦函数:； 余弦函数:； 正切函数:． 注：(1)正弦值就是交点P的纵坐标，余弦值就是交点的横坐标，正切值就是交点P的纵坐标与横坐标的比值. (2)正弦、余弦总有意义.但当的终边在y轴上时，点的横坐标等于0，无意义，此时. 9 例题讲解 例1、求的正弦、余弦和正切值。 y x B A O 解: 在直角坐标系中,作出 ①把角放在平面直角坐标系中 ②画出直角三角形 ③求出角的终边与单位圆的交点坐标 ④利用定义来确定三角函数的值 10 例题讲解 课本181页 例2 如图，是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，点与原点的距离为； 求证：. 11 检测训练 大本139页 新知探究 探究二：任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号 13 新知讲解 问题3 你能利用三角函数的定义，给出正弦函数、余弦函数以及正切函数在每个象限的符号吗？为什么？ + - - - - + + - - 14 例题讲解 例3 求证：角为第三象限角的充要条件是 证明 先证明充分性,即如果①②式都成立，那么为第三象限角. 因为①式成立，所以角的终边可能位于第三或第四象限，也可能与轴的负半轴重合. 因为②式成立，所以角的终边可能位于第一或第三象限. 因为①②式都成立，所以角的终边只能位于第三象限. 于是角为第三象限角 再证必要性（同学们自己证明） 15 A 检测训练 大本139页 新知讲解 问题5 利用三角函数的定义，你能发现终边相同的角的同一三角函数值有什么关系？ 问题4 回忆下终边相同的角是如何表示的呢？ 其中 三角函数值具有“周而复始”的变化规律 公式一 利用公式一，可以将任意角的三角函数值转化成0--的角的函数值 17 例题讲解 (1) (2) (3) (4) 例4 确定下列三角函数值的符号 解 :(1)因为是第三象限角，所以 (2)因为是第四象限角，所以 (3)因为,而是第一象限角， 所以 (4)因为,而的终边在轴上， 所以 至于不是特殊角的三角函数值，需要计算器进行计算。 18 [解析]　(1)∵155°是第二象限角，∴sin 155°>0. ∵－200°＝－360°＋160°，∴－200°是第二象限角， ∴cos(－200°)<0. ∴sin 155°cos(－200°)<0. 检测训练 大本139页 　4.求值：(1)sin(－1 740