3.2.2函数的奇偶性课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2.2函数的奇偶性 学习目标:(1分钟) 1.结合具体函数理解奇函数、偶函数的定义 (重点) 2．了解奇函数、偶函数图象的特征． (重点) 3．会判断(或证明)函数的奇偶性． (难点) 新课引入 前面我们用符号语言精确地描述了函数图像在定义域的某个区间上“上升”(或“下降”)的性质，下面我们研究函数的其他性质. 变化中的不变性、规律性就是性质 新课引入 生活中的对称美 观察下列各个函数的图象,你能说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律？ 在上面的函数图象中,这两个函数的图像都关于y轴对称. 类比函数单调性，如何用数学符号语言准确描述“函数图象关于y轴对称”的这种特征呢? f(x)=x2 g(x)=2-|x| 列出x,y的对应值表: x … … f(x)=x2 … … 0 0 -2 4 1 1 2 4 -1 1 -3 9 3 9 -4 16 4 16 ∀x∈R，都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x) 这时我们称f(x)=x2为偶函数. 函数f(x)=x2, x∈[-2,2]的图像关于y轴对称吗？ 它是偶函数吗？ 函数f(x)=x2, x∈[-1,2]呢? 偶函数：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 ①∀x∈I，-x∈I， ②f(-x)=f(x) 那么函数f(x)就叫做偶函数. 函数的定义域关于原点对称 概念生成 g(x)=2-|x| 证明：函数g(x)=2-|x|的定义域为R, 且g(-x)=2-|-x|=2-|x|=g(x)， 即g(x)=2-|x|是偶函数. 请你用偶函数的定义证明: 函数g(x)=2-|x|是偶函数. 观察下列各个函数的图象,你能说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律？ 在上面的函数图象中,这两个函数的图像都关于原点对称. 类比函数单调性，如何用数学符号语言准确描述“函数图象关于原点对称”的这种特征呢? 奇函数：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 ①∀x∈I，-x∈I， ②f(-x)=-f(x) 那么函数f(x)就叫做奇函数. 函数的定义域关于原点对称 概念生成 请你用奇函数的定义证明: 函数 是奇函数. 函数 的定义域为{x|x≠0}, 它关于原点对称, 且 即 是奇函数. 偶函数     图像关于y轴对称 代数特征 几何特征 奇函数     图像关于原点对称 代数特征 几何特征 根据奇偶性, 函数可划分为四类: 奇函数 偶函数 非奇非偶函数 既奇又偶函数 f(x)=0,x∈R 判定函数的奇偶性的步骤： 1.先求函数的定义域 ①若定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数. ②若定义域关于原点对称的区间,进入第二步; 2.计算f(－x) ①若f(-x)= f(x),则函数是偶函数； ②若f(-x)=－f(x),则函数是奇函数; ③若f(-x)不等于±f(x),则函数是非奇非偶函数 定义域优先! 3.判断. 若函数f(x)在【a,b】是奇（偶）函数,则a与b的关系是 . a+b=0 若奇函数f(x)的定义域包括0,则f(0)= 0 . 例、判断下列函数的奇偶性： (1)解：定义域为R，∵∀x∈R,都有-x∈R，且f(-x)=(-x)4=f(x) ∴f(x)偶函数 (2)解：定义域为R，它关于原点对称，且 f(-x)=(-x)5=- x5 =-f(x) ∴f(x)奇函数 ∴f(x)奇函数 (4)解：定义域为{x|x≠0} ，它关于原点对称 ∴f(x)偶函数 (3)解：定义域为{x|x≠0}，它关于原点对称 且 例题讲解 课本 (2)f(x)的定义域是R. ∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)， ∴f(x)是偶函数． (3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对， ∴f(x)是非奇非偶函数． 解 ：(1)函数的定义域为R .∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝ －(x3＋x5)＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数． 检测训练 检测训练 课本85页 【拓展】（2）奇偶函数的运算性质及符合函数的奇偶性：设 ， 的定义域分别是A和B，在公共定义域上有： 【注】上表中不考虑 和 的情况 . 偶 偶 偶 偶 奇 奇 奇 奇 偶 奇 偶 奇 偶 奇 偶 奇 偶 偶 偶 奇 判断函数的奇偶性的方法有：图像法和定