第1章数列 章末小结 学案-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

第1章 章末小结 【知识导图】 【题型探究】 已知Sn求an 例1　已知数列{an}的前n项和Sn=2n-n2,an=log5bn,其中bn>0,求数列{bn}的前n项和. 方法指导　由数列{an}的前n项和Sn,先分两步求得数列{an}的通项公式,再根据an=log5bn求得数列{bn}的通项公式,并判断其类型再求和. 小结　注意由Sn求an时,分两步完成后要判断a1是否符合当n≥2时的式子,若符合,则可统一为一个式子,若不符合,则需要分段写出. 等差、等比数列的性质 例2　(1)设数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,已知a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,若对任意n∈N+都有Sn≤Sk成立,则k的值为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.22 B.21 C.20 D.19 (2)已知公比为的等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11=16,则log2a16=(　　). A.4 B.5 C.6 D.7 　　方法指导　利用等差、等比数列的性质进行运算. 小结　(1)等差数列中利用等差中项将已知等式化简求出基本量,注意由判断出使得Sn取最大值时的项数.(2)设{an}为等比数列,m,n,p,q∈N+,若m+n=p+q,则am·an=ap·aq,=qm-n.利用等比数列的性质解题时要充分发挥项的“下标”的指导作用,分析等比数列项与项之间的关系,选择恰当的性质解题. 裂项相消法求和 例3　(2022年新高考全国Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和,已知a1=1,是公差为的等差数列. (1)求{an}的通项公式. (2)证明:++…+<2. 小结　本题考查数列的递推关系式、数列的通项公式的求法、数列的求和以及裂项相消法在数列求和中的应用,主要考查学生的运算能力和数学思维能力.先利用前n项和求出an与an-1之间的关系,再利用递推关系求出an的表达式是本题的解题关键. 等差数列、等比数列的证明 例4　(2021年全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立. ①数列{an}是等差数列;②数列{}是等差数列;③a2=3a1. 方法指导　首先确定条件和结论,然后结合等差数列的通项公式和前n项和公式证明结论即可. 小结　本题主要考查等差数列的判定与证明、等差数列的通项公式、等差数列的前n项和公式等知识,提升学生逻辑推理和数学运算的核心素养.证明数列是等差数列的主要方法: (1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证an-an-1为同一常数. (2)等差中项法:验证2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N+)都成立. (3)通项公式:an=pn+q(p,q为常数)⇔{an}是等差数列. (4)前n项和公式:Sn=An2+Bn(A,B为常数)⇔{an}是等差数列. 问题的最终判定还是利用等差数列的定义. 错位相减法求和 例5　(2020年全国Ⅰ卷)设{an}是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等差中项. (1)求{an}的公比; (2)若a1=1,求数列{nan}的前n项和. 方法指导　(1)由已知条件结合等差中项的性质,建立关于公比q的方程,求解即可得出结论; (2)由(1)结合条件得出{an}的通项公式,根据{nan}的通项公式特征运用错位相减法,即可求出结论. 小结　本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质以及错位相减法求和.如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和可用错位相减法求解.本题考查了数学运算和逻辑推理的核心素养. 分组求和法 例6　(2021年新高考全国Ⅰ卷)已知数列{an}满足a1=1,an+1= (1)记bn=a2n,写出b1,b2,并求数列{bn}的通项公式; (2)求{an}的前20项和. 　　方法指导　(1)由数列{an}的通项公式可求得a2,a4,从而可求得b1,b2,由bn-bn-1=3可得数列{bn}是等差数列,从而可求得数列{bn}的通项公式; (2)由数列{an}的通项公式可得数列{an}的奇数项和偶数项分别构成等差数列,再求解即可. 小结　本题主要考查数列的递推式,数列的求和,提升学生数学运算和逻辑推理的核心素养. 1.若数列{cn}的通项公式为cn=an±bn,且{an},{bn}为等差数列或等比数列,则可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和. 2.若数列{cn}的通项公式为cn=其中数列{an},{bn}是等比数列或等差数列,则可采用分组求和法求{cn}的前n项和. 数列的单调性 例7　已知数列{an}中,an=1+(n∈N+,a∈R且a≠0). (1)若a=