1.2.2 等差数列与一次函数学案-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

1.2.2　等差数列与一次函数 【学习目标】 1.熟悉等差数列的相关性质,并能够灵活应用该知识进行运算.(逻辑推理、数学运算) 2.理解等差数列的通项公式就是一个定义域为全体正整数的一次函数.(数学抽象、直观想象) 3.通过函数的引入增强学生运用等差数列公式解决问题的能力.(逻辑推理、数学运算) 4.掌握等差数列的判定方法.(数学抽象、逻辑推理) 【自主预习】 预学忆思 1.等差数列中的奇数项、偶数项是否分别构成等差数列?若构成等差数列,则公差是多少? 2.等差数列去掉前面若干项后,剩下的项是否还构成等差数列? 3.在等差数列{an}中,若m,n,p,q,…成等差数列,则am,an,ap,aq,…也成等差数列吗?若成等差数列,则公差是多少? 4.由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可得,an=dn+(a1-d),那么这个等差数列的图象与一次函数y=dx+(a1-d)(其中d≠0)图象之间有什么关系? 5.在等差数列{an}中,若an=3n+18,你能知道该数列的单调性吗?如何判断? 自学检测 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在等差数列{an}中,必有a10=a1+a9. (　　) (2)若等差数列{an}的公差d>0,则{|an|}是递增数列. (　　) (3)若等差数列{an}的公差d<0,则{an+nd}是递减数列. (　　) (4)若数列a1,a3,a5,…和a2,a4,a6…都是公差为d的等差数列,则a1,a2,a3…也是等差数列. (　　) 2.在等差数列{an}中,a10=18,a2=2,则公差d=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.-1　 B.2 C.4　 D.6 3.若数列{an}是等差数列,且an=an2+n,则实数a=　　　　.  4.在等差数列-5,-3,-2,-,…的每相邻两项间插入一个数,使之成为一个新的等差数列{an},则新数列的通项公式为an=　　　　.  【合作探究】 探究1：等差数列与一次函数的关系 情境设置 　　问题1:等差数列的图象是直线吗? 问题2:直线y=dx+(a1-d)的单调性如何判断?等差数列{an}的单调性又如何判断? 新知生成 　　等差数列与一次函数的关系 (1)对于一般的等差数列{an},其通项公式为an=a1+(n-1)d,将其中的正整数自变量n换成实数自变量x,得到y=dx+(a1-d). (2)当d≠0时,y是一次函数(其中一次项系数为等差数列的公差d);当d=0时,y=a1(a1为常数),这两种情形的函数图象都是直线. (3)等差数列的图象由相应函数图象上横坐标为正整数n的孤立点(n,an)组成. 当d>0时,直线y=dx+(a1-d)从左至右上升,等差数列{an}递增; 当d<0时,直线y=dx+(a1-d)从左至右下降,等差数列{an}递减; 当d=0时,y=a1为水平方向的直线,数列{an}为常数列. 新知运用 例1　已知(3,5),(7,13)是等差数列{an}的图象上的两点. (1)求数列{an}的通项公式; (2)画出数列{an}的图象; (3)判断数列{an}的单调性. 【方法总结】　(1)等差数列的图象是一些孤立的点,这些点在一条直线上.(2)单调性可以根据公差的符号判断. 巩固训练 已知(5,11),(8,5)是等差数列{an}的图象上的两点. (1)求等差数列{an}的通项公式; (2)画出等差数列{an}的图象; (3)判断等差数列{an}的单调性. 探究2：等差数列的判定与证明 情境设置 　　问题1:对于给定的等差数列{an},从第二项起的每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等差中项吗? 问题2:问题1的结论可以给我们什么样的启示? 问题3:若数列{an}的通项公式为an=kn+b,则该数列是等差数列吗? 新知生成 1.等差数列的判定方法有以下三种: (1)定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N+)⇔{an}为等差数列; (2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N+)⇔{an}为等差数列; (3)通项公式法:an=an+b(a,b是常数,n∈N+)⇔{an}为等差数列. 2.要证明一个数列不是等差数列,只要证明其中特定三项(如前三项a1,a2,a3)不是等差数列即可. 新知运用 例2　已知数列{an}满足an+1=,且a1=3(n∈N+). (1)证明:数列是等差数列. (2)求数列{an}的通项公式. 【方法总结】等差数列的判定与证明的关键是根据题干给出的相关条件,选择合适的判定方法. 巩固训练 　　在数列{an}中,a1=,an-an+1=2anan+1. (1)证明