1.1 课时2 数列中的递推公式与性质 学案-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

1.1 课时2 数列中的递推公式与性质 【学习目标】 1.理解递推公式的含义,能根据递推公式求出数列的前几项.(数学运算) 2.理解数列的单调性,会判断数列的单调性,会求简单数列的最大项.(逻辑推理、直观想象) 3.会利用数列的周期性解决简单的问题.(逻辑推理、数学建模) 【自主预习】 预学忆思 1.什么是数列的递推公式? 2.由数列的递推公式能否写出数列的前几项? 3.数列的递推公式与数列的通项公式有什么区别与联系? 4.数列是特殊的函数,我们知道函数有单调递增函数,单调递减函数,那么数列有单调性吗?若有,如何判断数列的单调性? 自学检测 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)有些数列可能不存在最大项. (　　) (2)所有的数列都有递推公式. (　　) (3)所有数列都具有单调性. (　　) (4)在数列{an}中,若an=,则{an}是递减数列. (　　) 2.数列1,,,,…的递推公式可以是(　　). A.an=(n∈N+) B.an=(n∈N+) C.an+1=an(n∈N+) D.an+1=2an(n∈N+) 3.已知数列{an}的通项公式为an=lo(n+1),则数列{an}是　　　　数列.(填“递增”或“递减”)  4.已知数列{an}满足an+2=an+1+2an,且a1=1,a2=2,写出该数列的前5项. 【合作探究】 探究1：数列的递推关系 情境设置 　　已知某冰雪项目看台有30排座位,第一排有20个座位,从第二排起,后一排都比前一排多2个座位. 问题1:写出前五排的座位数. 问题2:第n排与第n+1排的座位数有何关系? 问题3:能用等式表示出第n排座位数an与第n+1排座位数an+1的关系吗? 问题4:仅由数列{an}的关系式an=an-1+2(n≥2,n∈N+)就能确定这个数列吗? 新知生成 数列的递推公式 如果数列{an}的任一项an+1与它的前一项an之间的关系可用一个公式来表示,即an+1=f(an),n≥1,那么这个公式就叫作数列{an}的递推公式,a1称为数列{an}的初始条件. 微点评:由递推公式和初始条件可确定数列{an},这是表示数列的又一种重要方法.许多与数列有关的应用问题最后都归结为这种数学模型. 新知运用 一、利用数列的递推公式求数列的项 例1　若数列{an}满足a1=2,an+1=,n∈N+,求a2023的值. 【方法总结】递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.对于通项公式,已知n的值即可得到相应的项,而对于递推公式,则要已知首项(或前几项),才可依次求得其他的项.若项数很大,则应考虑数列是否具有规律. 二、利用递推公式求通项公式 例2　(1)在数列{an}中,a1=1,an+1=an+-(n∈N+),则an=(　　). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. (2)已知数列{an}满足a1=1,an+1=an(n∈N+),则an=(　　). A.n+1 B.n C. D. 【方法总结】由递推公式求通项公式的常用方法 (1)归纳法:根据数列的某项和递推公式,求出数列的前几项,归纳出通项公式. (2)迭代法、累加法或累乘法,递推公式对应的有以下几类: ①an+1-an=常数,或an+1-an=f(n)(f(n)是可以求和的),使用累加法或迭代法; ②an+1=pan(p为非零常数),或an+1=f(n)an(f(n)是可以求积的),使用累乘法或迭代法; ③an+1=pan+q(p,q为非零常数),适当变形后转化为第②类解决. 巩固训练 1.(多选题)已知数列{an}中,a1=3,an+1=-,能使an=3的n可以为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.22 B.24 C.26 D.28 　 2.已知数列{an}满足a1=3,an+1=2an+1(n∈N+),则a5=　　　　,由此归纳出{an}的一个通项公式为　　　　,a8=　　　　.  3.(1)已知a1=1,an+1-an=2(n∈N+),求数列{an}的通项公式. (2)已知数列{an}中,a1=2,an+1=3an(n∈N+),求数列{an}的通项公式. 探究2：数列的单调性 情境设置 　　观察下面的数列,回答问题. (1)2,,,,…; (2)-,,-,,…; (3)0.8,0.88,0.888,…. 问题1:写出(1)(2)(3)的通项公式. 问题2:观察(1)(2)(3)中数列,从第二项起每一项与它前一项有什么大小关系? 新知生成 数列的单调性 一般地,对于一个数列{an},如果从第二项起,每一项都大于它的前一项,即an+1>an,n∈N+,那么这个数列叫作