1.1 课时1 数列的概念及通项公式 学案-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

1.1 课时1 数列的概念及通项公式 【学习目标】 1.理解数列及其有关概念.(数学抽象) 2.理解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 预学忆思 1.数列的定义是什么? 2.数列的项与项数有什么不同? 3.同一个数在数列中能重复出现吗? 4.什么叫数列的通项公式? 5.数列1,2,3,4,5,数列5,3,2,4,1与{1,2,3,4,5}有什么区别? 自学检测 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)数列1,1,1,…是无穷数列. (　　) (2)数列中的项互换次序后还是原来的数列. (　　) (3)有些数列没有通项公式. (　　) (4){an}与an的意义一样,都表示数列. (　　) 2.已知数列{an}的通项公式为an=,那么a5=(　　). A. B. C. D. 3.数列0,1,2,3,4,…的一个通项公式可以为(　　). A.an=n-1 B.an=n C.an=n+1 D.an=n2-1 4.数列{an}的通项公式为an=则a3+a6=　　　　.  【合作探究】 探究1：数列的概念与分类 情境设置 　　问题:观察以下几列数: ①古埃及“阿默斯”画了一个阶梯,上面的数字依次为7,49,343,2401,16807; ②战国时期庄周引用过一句话:一尺之棰,日取其半,万世不竭.这句话中隐藏着一列数:1,,,,,…; ③从学号1开始,记下本班的每一个同学参加高考的时间:2023,2023,…,2023; ④小明为了记住刚设置的手机密码,不停地说:7,0,2,5,7,0,2,5,…; ⑤-的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数:-,,-,,…. 你能找到上述几列数的共同点和不同点吗? 新知生成 1.数列及其相关的概念 按照一定顺序排列的一列数叫作数列,数列中的每一个数叫作这个数列的项,排在第一位的数叫作数列的首项或叫作数列的第1项,排在第二位的数叫作数列的第2项,…,排在第n位的数称为这个数列的第n项. 2.数列的表示方法 数列的一般形式可以写成a1,a2,…,an,…,简记为{an}. 3.数列的分类 项数有限的数列称为有穷数列,项数无限的数列称为无穷数列. 新知运用 例1　下列有关数列的说法,正确的是(　　). ①数列1,2,3可以表示成{1,2,3};②数列-1,0,1与数列1,0,-1是同一数列;③数列7,7,7,…是无穷数列;④数列中的每一项都与它的序号有关. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 【方法总结】　(1)数列类型的判断一定要严格按照数列的定义进行; (2)如果组成两个数列的数相同,但顺序不同,那么它们是不同的数列; (3)同一个数可以在数列中重复出现. 巩固训练 　　下列说法正确的是　　　　.  ①同一数列的任意两项均不可能相同; ②数列中的项与顺序无关; ③数列0,2,4,6是有穷数列; ④数列0,1,2,3,4,5,6,7,…的第8项为7. 探究2：数列的通项公式 情境设置 　　数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为{an}. 问题1:数列{an}中的各项ak与各项序号k(k=1,2,3,…,n,…)之间的对应关系是什么? 问题2:你能从函数的角度解释这个数列的特点吗? 问题3:在数列中,符号{an}与an所表示的意义是否相同? 问题4:在数列0,,,,…,,…中,是它的第几项? 新知生成 1.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an可以用一个关于n的公式来表示,那么这个公式叫作这个数列{an}的通项公式. 2.数列的表示 从函数观点看,数列的通项公式就是这个数列的表达式,与函数一样,数列还可以用列表法和图象法来表示. 新知运用 例2　根据下面各数列的前几项,写出数列的一个通项公式: (1)-1,7,-13,19,…; (2),,,,,…; (3),2,,8,,…; (4)5,55,555,5555,…; (5)4,0,4,0,4,0,…. 【方法总结】　(1)对于正负符号的变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整; (2)对于分数形式的变化,先考虑分母的变化规律,再考虑分子与分母的关系和变化规律; (3)对于各项中有分数又有整数的变化,应统一化为分数形式再观察其规律; (4)从数列5,55,555,5555,…和数列9,99,999,9999,…的关系着手. (5)对于周期数列,可考虑拆成几个简单数列之和的形式,或者利用分段函数或周期函数,如三角函数等. 巩固训练 　　写出下列各数列的一个通项公式,它们的前几项分别是: (1)1,3,7,15,31,…; (2),,,,,…; (3)2×3,3×4,