3.2.1函数的单调性课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2 函数的基本性质 3.2.1单调性与最大值 第一课时 函数的单调性 学习目标: 1.通过分析熟悉的函数图象;总结出增函数、减函数的概念;(重点) 3.会用函数的定义法证明简单函数的单调性, 并总结出定义法判断函数单调性的步骤; (难点) 2.会用图像法求常见函数的单调区间; (难点) 4.体会数形结合的数学思想. 在初中，我们利用函数图象研究过函数值随自变量的增大而增大（或减小）的性质，这一性质叫做函数的单调性.下面进一步用符号语言来刻画这种性质. 活动2：我们以函数f(x)=x2为例，研究其单调性 在y轴左侧，f(x)=x2图象下降的；即当x≤0时，即f(x)随着x的增大而减小； 在y轴右侧，f(x)=x2图象上升的；即当x>0时，即f(x)随着x的增大而增大. 图象特征：在y轴左侧，f(x)=x2图象是下降的；即当时，随着的增大而减小. 符号语言：任意取, 这时我们就说函数在区间上是单调递减的. C 图象特征：在y轴右侧，f(x)=x2图象是上升的；即当时，随着的增大而增大. 符号语言：任意取, 这时我们就说函数在区间上是单调递增的. 活动3：仿照f(x)=x2，用符号语言刻画函数f(x)=|x|和f(x)=-x2各有怎样的单调性？ 符号语言： (1)任意取, 这时我们就说函数在区间上是单调递增的. (2)任意取, 这时我们就说函数在区间上是单调递减的. 活动3：仿照f(x)=x2，用符号语言刻画函数f(x)=|x|和f(x)=-x2各有怎样的单调性？ 符号语言： (1)任意取, 这时我们就说函数在区间上是单调递减的. (2)任意取, 这时我们就说函数在区间上是单调递增的. 一般地，设函数: 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它为增函数.如：就是在R上的增函数. 特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它为减函数.如：就是在R上的减函数. 思考1：反比例函数是减函数吗？ 注意：增函数、减函数是针对的是函数的整个定义域，是函数的整体性质，而函数的单调性是对定义域下的某个区间，是函数的局部性质。一个函数在定义域下的某个区间具有单调性，但在整个定义上不一定具有单调性。 思考2：(1)设A是区间D上的自变量的某些值组成的集合，而且∀x1,x2∈A，当x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，你能说函数f(x)在区间D上单调递增吗？试举例说明. 对于函数f(x)=|x|，取区间D=(-4,4), 集合A={-1,2,3}，则∀x1,x2∈{-1,2,3}，当x1<x2，都有f(x1)=|x1|<f(x2)=|x2|.但f(x)=|x|在(-4,4)上并不单调递增. 函数的单调性是对定义域I上的某个区间D而言的，自变量在整个区间D上的取值x1和x2（x1≠x2）具有任意性。不能用自变量在区间D内某两个值来或者区间D一部分内的任意两个值x1，x2来代替。 注：若函数的单调区间有多个，则函数的单调区间不能用“”连接，只能用“，”或“和”连接. Q1:由初中知识可知，一次函数图象的上升还是下降取决于谁？ Q2:根据单调性的定义，判断单调性的关键是比较的大小？那如何比较的大小呢？ 例析 课本P78 解： 取值 作差 定号 下结论 例析 课本P78 练习 课本P79 题型：判断（证明）函数的单调性） 证明： ( 所以， 又由，得 于是 所以，函数在区间上单调递增. 例3：根据定义证明函数在区间上单调递增. 作差 取值 定号 下结论 练习 例2.证明函数 在区间上是减函数. 证明： ( 所以， 又由，得 于是 所以，函数在区间上单调递减. [例3]　求证：函数f(x)＝ 在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数． 练习 函数的单调性 二、用定义证明函数的单调性的步骤: 1.取数:任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2.作差:f(x1)－f(x2)； 3.变形:通常是因式分解和配方； 4.定号:判断差f(x1)－f(x2)的正负； 5.结论:指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性. 一、函数单调性的定义 小结 作业： 小本《课时作业》（二十二） A组、B组、C组 $$