6.3.1 平面向量基本定理及坐标表示 课时1 平面向量基本定理课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

6.3平面向量基本定理及坐标表示 第六章 平面向量及其应用 课时1 平面向量基本定理 探究一：平面向量基本定理 如图(1)，设，是同一平面内两个不共线的向量， 是这一平面内与 ，都不共线的向量，如图(2)，在平面内任取一点，作， , . 情境设置 问题：能否将上图中 按，的方向分解，若能，怎么分解? 【解析】 如图， . 思考：若与或共线，还能用，表示吗?若等于呢? 2 新知生成 知识点一 平面向量基本定理 1.平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意一个向量 ，有且只有一对实数 ， ，使. 2.基底：若，不共线，把，叫作表示这一平面内所有向量的一个_____.平面内任一向量都可以用同一个基底唯一表示. 3.如果 , , 三点共线， 是平面内任意一点，若 ，则. 基底 3 一、基底的概念 例题1 (多选题)设 ,为基底的是( ). A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【解析】选项B中， ， 与 共线， 不能作为基底；选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底. ACD 4 反思感悟 方法总结 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来. 5 新知运用 跟踪训练1 若向量𝒂，𝒃不共线，则𝒄=2𝒂−𝒃，𝒅=3𝒂−2𝒃，试判断{𝒄，𝒅}能否作为基底. 【解析】设存在实数 𝜆 ，使 𝒄=𝜆𝒅 ， 则 2𝒂−𝒃=𝜆(3𝒂−2𝒃) ，即 (2−3𝜆)𝒂+(2𝜆−1)𝒃=0 ， 由于向量 𝒂 ， 𝒃 不共线，所以 2−3𝜆=2𝜆−1=0 ，这样的 𝜆 是不存在的， 所以 𝒄 ， 𝒅 不共线，故{ 𝒄 ， 𝒅 }能作为基底. 6 二、用基底表示向量 例题2 如图，已知在梯形中，，，， ，G分别是，，BC的中点，设，，试用{， }为基底表示，， . 【解析】因为 ， ， ， 分别是 ， 的中点，所以 ， . . ， 所以 . 7 反思感悟 方法总结 平面向量基本定理的作用及注意点 (1)根据平面向量基本定理，任何一个基底都可以表示任意向量.用基底表示向 量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则进行向量的线性运算. (2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程(组)，通过方程(组)求出要表 示的向量. 8 新知运用 跟踪训练2 如图，在正方形 中，设 ， ， ，则 以 ， 为基底时， 可表示为______，以，为基底时， 可表示为_______. 【解析】以 ， 为基底时， ； 以 ， 为基底时，将 平移，使 与 重合，再由三角形法则或 平行四边形法则即得 . 9 三、平面向量基本定理的应用 例题3 如图，在菱形 中， , ，分别是边， 上的点，且 ， ，连接 ， ，交点为. (1)设 ，求的值； (2) 求的余弦值. 【解析】(1)由 ， ，得 ，又 ， ， 三点共线，令 ，则 ， 由 ， 不共线，得 且 ，解得 . (2) 取 ， 作为平面的一组基底，则 , ， ， 所以 . 又 ， ，所以 . 10 反思感悟 方法总结 平面向量基本定理是向量法的理论基础，它不仅提供了向量的几何表示方法，而且使向量用坐标来表示成为可能，从而架起了向量的几何运算与代数运算之间的桥梁,这就为几何问题转化为代数论证提供了理论工具. 11 新知运用 跟踪训练3 如图，在中，是的中点，点满足 ， 与 交于点 ． (1) 设，求实数的值； (2) 设是 上一点，且 ，求的值． 【解析】 (1) 设因为 ， 是 的中点，所以 . ①设 ， ，故 ，整理得 ，又 ，即 ，所以 . ②联立①②，根据平面向量基本定理，得 解得 所以实数 的值为 ． (2)因为 ，所以 ，即 ， 所以 ． 12 随堂检测 1.如图，在△𝐴𝐵𝐶中， 𝐷是𝐴𝐵的中点，则( ). A. B. C. D. 2. 如图，在 中， 是 的中点， ，点 在 上且满足 ，则 等于( ). A. B. C. D. 3. 在 中，若 ，则下列关系式正确的是(