湖南省常德市石门一中2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题

湖南省常德市石门一中2023-2024学年度12月高二数学单元检测卷（全国通用） 一、单选题 1．数列，…的一个通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 2．直三棱柱中，，M，N分别是的中点，，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．设、分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．数列满足，且，则等于（　　） A．19 B．20 C．21 D．22 5．已知为等差数列的前项和，，则（    ） A．240 B．60 C．180 D．120 6．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点在圆上，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 7．已知数列的前n项和为，，，则（    ） A．414 B．406 C．403 D．393 8．已知正方体的棱长为3，点P在的内部及其边界上运动，且，则点P的轨迹长度为(    ) A． B． C． D． 二、多选题 9．设椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上的动点，则（    ） A． B．C的离心率为 C．面积的最大值为 D．C上有且只有4个点P，使得是直角三角形 10．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都1，且，则下列说法中正确的有（    ） A． B． C．平面 D．直线与所成角的余弦值为 11．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B．若，则的最小值为 C．取到最大值时， D．设，则数列的最小项为 12．已知直四棱柱的底面为正方形，，为直四棱柱内一点，且，其中，，则下列说法正确的是（    ） A．当时，三棱锥的体积为定值 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，的最小值为 D．当时，存在唯一的点，使得平面平面 三、填空题 13．圆上到直线的距离为1的点的个数为 ． 14．已知圆，若圆的过点的三条弦的长，，构成等差数列，则该数列的公差的最大值是 . 15．已知数列中，，，，数列的前n项和为.若对于任意的，不等式恒成立，则实数t的取值范围是 . 16．如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，.点，分别在棱，上，且，，若过点，，的平面与直线交于点，且，则 . 四、解答题 17．给定椭圆：，称圆心在原点，半径是的圆为椭圆的“准圆”．已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为． (1)求椭圆和其“准圆”的方程； (2)若点，是椭圆的“准圆”与轴的两交点，是椭圆上的一个动点，求的取值范围． 18．已知数列满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，若，求k的最小值． 19．如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 20．如图，线段是圆柱的母线，是圆柱下底面的内接正三角形，． (1)劣弧上是否存在点D，使得平面？若存在，求出劣弧的长度；若不存在，请说明理由． (2)求平面和平面夹角的余弦值． 21．设函数，设，． （1）计算的值． （2）求数列的通项公式． （3）若，，数列的前项和为，若对一切成立，求的取值范围． 22．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一点，是和的等差中项． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）若为椭圆的右顶点，直线与轴交于点，过点的另一直线与椭圆交于、两点，且，求直线的方程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$