5.4.3正切函数的性质与图象课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

正切函数图象与性质 册 别：必修二 学 科：高中数学（人教版） 同学们好，我是来自瑞安市第七中学的叶鹏程老师，今天我们一起学习的内容是正切函数的性质与图像。 1 【问题一】研究函数的一般方法？ 根据研究正弦函数、余弦函数的经验，我们研究正切函数，可以换种方式： 正切函数的定义 正切函数的性质 正切函数的图象 根据已往的经验，我们研究函数的一般方法是什么？ 根据函数的定义，作函数的图像，通过图像研究函数的性质。 研究正弦函数、余弦函数又给我们提供了新的经验，我们研究正切函数，可以换种方式： 先根据正切函数的定义研究其部分性质，得到函数图象，再通过图象研究其他性质。 2 函数的定义 作函数图象 研究函数性质 【问题二】回顾正弦函数余弦函数的性质，我们将学习正切函 数哪些性质在？ 定义域 值域 奇偶性 单调性 最值 周期性 以上哪些性质可以由正切函数的定义直接得到？ 回顾正弦函数余弦函数的性质，我们将学习正切函 数哪些性质在？ 定义域（读） 以上哪些性质可以由正切函数的定义直接得到？ 3 P(x,y) M O A T ， 正切函数： 定义域 如图在单位圆中，角α的终边与单元交于点P(X,Y),由三角函数的定义，可知y=tanα=。 我们就可以得到正切函数的定义域为 4 诱导公式： 周期性 诱导公式： 奇偶性 奇函数 在探究正弦函数、余弦函数的性质的时候。我们经常用诱导公式。同样道理，我们也可以利用诱导公式获取正切函数的性质。 由诱导公式，我们可知它的最小正周期为π。 由诱导公式我们可知它的奇偶性。 5 y x O 定义域 周期性 最小正周期为 定义域是研究函数的基础，我们又知道了正切函数的周期性与奇偶性。 由于它是周期函数，我们只需要绘制它在一个周期内的图像，再将图像进行平移，就可以得到整个定义域内的图像。 6 y x O 定义域 周期性 最小正周期为 奇偶性 奇函数 由因为它是奇函数，图像关于原点对称。 我们可以研究[0,]内的函数的图像，通过奇偶性，对称到[]. 然后向左向右不断平移，就可以得到完成的正切函数在整个定义域内的图像。 7 x y 1 -1 下面我们来研究如何绘制[0,]内的函数的图像。根据研究正弦函数的经验，我们可以通过描点法作图。为了更加准确描点，可以利用单位圆来确定自变量所正切值。 如图所示，过单位圆o’与x轴交点A作单位圆的切线。 取任意角O’B与切线交于A。O’B=1，则AB为角的正切值。平移AB，我们就可以得到角的正切值。 8 x y 1 -1 为了方便取点，我们在 0 到内，我们四等分，分别取，，。同样，在单位圆内也将0 到等分，通过平移线段，得到对应的正切值。当然，希望更加准确，我们可以取更多的点。 我们用光滑的曲线连接取到的点。 点，这样我们就得到了 0 到内正切函数的图像。 9 x y 1 -1 将图像关于原点对称。就得到了[]内的图像。 10 在区间单调递增． 单调性 值域 无最大值与最小值.值域为R. 然后向左向右不断平移π个单位，就得到了正切函数在整个定义域内的图像。正切函数的图像我们称为正切曲线。我们得到了正切函数的图像，那么我们可以更直观的研究函数的性质。 由正切图像我们可以知道正切函数在（，）开区间上是单调递增的。由于其为周期π的周期函数，因此单调递增。 正切函数的图像上线无限延伸，与直线x=+kπ,k∈z，无限接近但不相交。因此，它的值域为R。无最大值与最小值。 11 对称中心为无对称轴 . 对称性 正切函数也有对称性吗？由于正切函数是ji函数，我们不难发现正切函数应当是中心对称图形坐标，原点就是它的一个对称中心。还有其他对称中心吗？，0）都是它的对称中心。图像与x轴的交点也是它的对称中心，因此可以概括为对称中心为k∈Z. 图像上也容易看出，正切函数没有对称轴。 12 正切函数 定义域 值域 最值 无最值 周期性 最小 正周期 奇偶性 奇函数 单调性 上单调递增． 对称性 对称中心为无对称轴 通过以上的研究，我们得到正切函数的性质。 。下面我们通过函数的性质和图像来解决一些问题。 13 【例1】 比较与 我们来看例一，比较正切值的大小，我们可以通过函数的单调性来比较函数值的大小。 构造正切函数，发现在90°到180°内单调递增，因此 14 【例1】 比较与 【例1】 比较与 构造函数在内单调递增. ∵ ∴ 在解决类似问题的过程当中，请同学们注意本题的要求是不求值来比较正切值的大小关系。我们可以把正切值看作是正切函数的两个函数值来比较。 16 【例2】 求函数的定义域、周期和单调递增区间. . ∴定义域为 解： 定义域: 下面我们来看【例2】 求函数的定义域、周期和单调递增区间. 利用正切函数的性质，通过代数变形我