5.4.2正弦函数、余弦函数的性质课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

正弦函数、余弦函数的性质 册 别：必修二 学 科：高中数学（人教版） 同学们大家好，我是瑞安市第七中学的叶鹏程。本节课我们一起来学习正弦函数、余弦函数的性质。通过前期对指数函数、对数函数的学习，我们知道对函数性质的研究思路，可以按照绘制函数图像、观察图像、发现性质、证明性质的步骤来完成。而上节课我们已经学习了正弦函数与余弦函数的图像。那么本节课就让我们一起利用函数图像展开对其性质的探究。 1 【问题一】类比之前所学指数函数、对数函数，本节课我们可以研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？ 定义域 值域 奇偶性 单调性 最值 类比之前所学指数函数、对数函数，本节课我们可以研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？ 定义域、值域、单调性、最值、奇偶性 2 绘制函数图像 发现函数性质 证明函数性质 函数的研究的一般思路 同学们大家好，我是瑞安市第七中学的叶鹏程。本节课我们一起来学习正弦函数、余弦函数的性质。通过前期对指数函数、对数函数的学习，我们知道对函数性质的研究思路，可以按照绘制函数图像、观察图像、发现性质、证明性质的步骤来完成。而上节课我们已经学习了正弦函数与余弦函数的图像。那么本节课就让我们一起利用函数图像展开对其性质的探究。 3 【问题二 】回忆下我们是如何作正弦函数的图象的？ 每隔，周而复始重复出现！ y x o 请同学们回忆正弦函数的图像，我们先确定闭区间内的图象，然后不断向左向右平移2π个单位。得到整个定义域内的图像。 也就是说，每隔，周而复始重复出现！ 这是我们图像上观察得到的结论，那下面请同学们思考如何用代数方法解释。 4 【问题三 】如何用代数描述以上“周而复始”的现象？ 向右平移2π 向左平移2π 向右平移4π 向右平移2π, 向左平移2π 向右平移4π 以此类推， 用代数表示就是sin⁡(𝑥+2π)=sin𝑥，sin⁡(𝑥−2π)=sin𝑥， sin⁡(𝑥+4π)=sin𝑥 用统一的式子表示：即 5 【问题三 】如何用代数描述以上“周而复始”的现象？ 诱导公式： 这就是诱导公式。它刻画了正弦函数“周而复始”的现象！ 6 【问题四】请阅读教科书回答下列问题：书上是如何用数学的语言来描述“周而复始”的现象的？ 数学上，我们用周期性来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律！ 请阅读教科书回答下列问题：书上是如何用数学的语言来描述“周而复始”的现象的？ 数学上，我们用周期性来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律！ 7 一般地，设函数的定义域为，如果存在一个非零常数,使得对每一个都有，且 那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期. 一般地，设函数𝑓(𝑥)的定义域为𝐷，如果存在一个非零常数𝑇,使得对每一个𝑥∈𝐷都有𝑥+𝑇∈𝐷，且 𝑓(𝑥+𝑇)=𝑓(𝑥)，那么函数𝑓(𝑥)就叫做周期函数.非零常数𝑇叫做这个函数的周期. 定义中，有诸多限定条件。比如对这个 T 的要求是存在一个非零常数，对自变量 X 要求是定义域中的每一个。 非零常数好理解，你是如何理解“每一个”的？ 8 当时， 那么是正弦函数的一个周期吗？为什么？ 思考： 这两个表达式。 那么是正弦函数的一个周期吗？为什么？ 显然，当时，它就不等于。它并不符合定义中的每一个x 9 一般地，设函数的定义域为，如果存在一个非零常数,使得对每一个都有，且 那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期. 所以要判断一个函数是否为周期函数的时候要求是寻找到这样的一个非零常数 T 使得 f(x+T)=f(x) 恒成立。 10 【问题五】正弦函数是否为周期函数？若是，它的周期是多少？ 诱导公式： 周期, 思考：k取不同的值，周期T也发生变化， 都是它的周期吗？ 根据周期性的定义，正弦函数是否为周期函数？ 根据诱导公式：sin⁡(𝑥+2𝑘𝜋)=sin𝑥(𝑘∈𝒁). 我们能确定2kπ就是他的周期。 老师这儿又有个问题：k取不同的值，周期T也发生变化，都是它的周期吗？ 11 是正弦函数的周期. 满足 是正弦函数的周期. 满足 是正弦函数的周期. 满足 都是它的周期！ 我们来看看他们是否满足定义！ 第一个（读） 第二个（读） 第三个（读） 显然，他们都满足。因此，都是它的周期！ 12 【问题六】对任意的周期函数，如果是周期，那么是否还是它的周期呢？ 周期 ∴ ∴ ∴ . 一个函数的周期不唯一，可以是正数，也可以是负数 我们回到任意的周期函数，对任意的周期函数，如果是周期，那么是否还是它的周期呢？ 我们证明下：根据周期函数的定义有∴，由于K非零整数，因此有以下式子。 我们也就说明了 对于周期函数，我们可以有以下结论：一个函数的周期不唯一，可以是正数，也可以是负数。但是同学们必须注意，以上推导过程