2025届高三数学一轮总复习第3课时利用导数研究函数的零点课件

第3课时　利用导数研究函数的零点 考点一 确定函数零点的个数(多考向探究预测) 考向1利用单调性和函数零点存在定理确定零点个数 例1(2024·福建宁德模拟)已知函数f(x)=ex-4sin x,其中e为自然对数的底数. (1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)证明:f(x)在[0,+∞)上有两个零点. (1)解 因为f(x)=ex-4sin x,所以f'(x)=ex-4cos x,则f(0)=1,f'(0)=-3, 故所求切线方程为y-1=-3(x-0),即3x+y-1=0. 考点一 考点二 考点三 (2)证明 设g(x)=f'(x)=ex-4cos x,则g'(x)=ex+4sin x. 显然当x∈(0,π]时,g'(x)>0,当x∈(π,+∞)时,g'(x)>eπ-4>0, 所以f'(x)在(0,+∞)上单调递增. 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 [对点训练1](2024·江苏南京模拟)已知函数f(x)=ex+(a-e2)x,其中a∈R. (1)若a=e2-2,求函数f(x)在[0,2]上的最值; (2)当a<0时,证明:F(x)=f(x)- ax2在(0,2)内存在唯一零点. (1)解 当a=e2-2时,f(x)=ex-2x,所以f'(x)=ex-2. 令f'(x)>0,得x>ln 2;令f'(x)<0,得x<ln 2,所以f(x)在[0,ln 2]上单调递减,在 [ln 2,2]上单调递增,又f(0)=1,f(ln 2)=2-2ln 2,f(2)=e2-4>1,所以f(x)在[0,2]上的最小值为2-2ln 2,最大值为e2-4. 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 考向2数形结合确定零点个数 例2(2024·江西赣州模拟)已知函数f(x)= . (1)求函数f(x)的最值; (2)讨论函数g(x)=aex-ln x-1的零点个数. 考点一 考点二 考点三 (2)函数g(x)=aex-ln x-1的零点个数就是方程aex-ln x-1=0的解的个数,整理 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 [对点训练2](2024·重庆巴蜀期末)已知函数f(x)=ax-ln x-2. (1)当a=1时,求函数f(x)的极值; (2)讨论函数f(x)的零点个数. 解 (1)当a=1时,f(x)=x-ln x-2(x>0),f'(x)=1- (x>0),令f'(x)>0,则x>1;令f'(x)<0,则0<x<1. 故函数f(x)的单调递增区间是(1,+∞),单调递减区间为(0,1),当x=1时,函数取极小值f(1)=1-ln 1-2=-1,无极大值. 考点一 考点二 考点三 作出函数g(x)的图象(如图所示),因此当a>e时,直线y=a与y=g(x)的图象没有交点;当a=e或a≤0时,直线y=a与y=g(x)的图象有1个交点;当0<a<e时,直线y=a与y=g(x)的图象有2个交点. 考点一 考点二 考点三 综上,当a>e时,函数f(x)没有零点;当a=e或a≤0时,函数f(x)有1个零点;当0<a<e时,函数f(x)有2个零点. 考点一 考点二 考点三 考点二 已知函数零点个数求参数的取值范围 例3(12分)(2024·江苏常州模拟)已知函数f(x)=1+ln x+2ax(a∈R). (1)讨论函数f(x)的单调性; 突破口:结合定义域对a分类讨论. (2)若f(x)存在两个零点,求a的取值范围. 关键点:先结合(1)中函数单调性得到最值,确定参数a的取值范围,然后借助零点存在定理进行推理验证. 审题指导:(1)确定函数定义域,求导后,从x>0入手,分类讨论f'(x)>0解的情况,从而确定函数单调性;(2)首先由(1)中函数的单调性得到函数最值,确定参数a的取值范围,然后再寻找恰当的区间端点,根据零点存在定理确定参数的取值范围. 考点一 考点二 考点三 不能忽视函数的定义域 不能漏掉这种情形 分类讨论后对结果进行综述 考点一 考点二 考点三 借助(1)问的结果 寻找恰当合理的区间端点值 考点一 考点二 考点三 构造函数　 根据零点存在定理判定 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 [对点训练3](12分)(2024·辽宁锦州模拟)已知函数f(x)=x3-aln x. (1)当a=1时,求函数f(x)的极值; (2)函数f(x)在区间(1,e]上存在两个不同的零点,求实数a的取值范围. 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 考点三 可化为函数零点的参数问题 例4(2023·北京,20)设函数f(x)=x-x3eax+b,曲线y=f(x)在点(1