2025届高三数学一轮总复习第2课时利用导数证明不等式课件

第2课时　利用导数证明不等式 考点一 作差构造函数法证明不等式 例1(12分)(2023·新高考Ⅰ,19)已知函数f(x)=a(ex+a)-x. (1)讨论f(x)的单调性; 突破口:结合ex>0,对a分类讨论. (2)证明:当a>0时,f(x)>2ln a+ . 关键点:构造函数,确定最值,证明不等式. 考点一 考点二 考点三 考点四 审题指导:(1)求导数后,结合ex>0从而对参数a分类讨论,确定f'(x)的符号,得到函数的单调性. (2)思路1:结合(1)中函数的单调性得到函数的最小值为1+a2+ln a,从而将欲证不等式化为a2- -ln a>0,然后构造函数通过最值证得结果. 思路2:首先证明ex≥x+1成立,然后借助该不等式将f(x)进行放缩,转化为证明不等式a2- -ln a>0,再构造函数通过最值证得结果. 考点一 考点二 考点三 考点四 不要漏掉这种情形　 当a>0时,令f'(x)=aex-1=0,解得x=-ln a,当x<-ln a时,f'(x)<0,f(x)在(-∞,-ln a)上单调递减;当x>-ln a时,f'(x)>0,f(x)在(-ln a,+∞)上单调递增. 分类讨论后要将结果进行综述　 考点一 考点二 考点三 考点四 借助(1)中单调性得到函数的最小值 将欲证不等式转化 构造函数 考点一 考点二 考点三 考点四 确定函数最小值证得结果　　　　 考点一 考点二 考点三 考点四 首先证明常用放缩不等式ex≥x+1 对f(x)放缩 构造函数将欲证不等式进行转化 考点一 考点二 考点三 考点四 构造函数 确定函数最小值证得结果 考点一 考点二 考点三 考点四 考点一 考点二 考点三 考点四 [对点训练1](12分)(2024·北京密云模拟)已知函数f(x)=xln(x+1). (1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; 考点一 考点二 考点三 考点四 考点一 考点二 考点三 考点四 考点二 拆分构造两个函数法证明不等式 考点一 考点二 考点三 考点四 考点一 考点二 考点三 考点四 当x∈(0,e)时,h'(x)>0,h(x)单调递增, 当x∈(e,+∞)时,h'(x)<0,h(x)单调递减, 考点一 考点二 考点三 考点四 考点一 考点二 考点三 考点四 [对点训练2](2024·河南开封模拟)设函数f(x)=(x2-2x)ex,g(x)=e2ln x-aex. (1)若函数g(x)在(e,+∞)上存在最大值,求实数a的取值范围; (2)当a=2时,求证:f(x)>g(x). 考点一 考点二 考点三 考点四 考点一 考点二 考点三 考点四 (2)证明 当a=2时,g(x)=e2ln x-2ex,且函数g(x)的定义域为(0,+∞),要证明f(x)>g(x),即证明当x>0时,(x2-2x)ex>e2ln x-2ex,只需要证明当x>0时, 设φ(x)=(x-2)ex+2e,则φ'(x)=(x-1)ex,令φ'(x)=0,得x=1,当0<x<1时,φ'(x)<0,当x>1时,φ'(x)>0,所以φ(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故 h'(x)=0,得x=e,当0<x<e时,h'(x)>0,当x>e时,h'(x)<0,所以h(x)在(0,e)内单调递增,在(e,+∞)上单调递减,故h(x)≤h(e)=e,且当x=e时,等号成立. 综上可得,当x>0时,φ(x)≥h(x),且等号不同时成立,所以当x>0时,φ(x)>h(x),故当a=2时,f(x)>g(x)得证. 考点一 考点二 考点三 考点四 考点三 放缩法证明不等式 例3(2024·福建厦门模拟)已知函数f(x)=aex+2x-1(其中常数e=2.718 28…是自然对数的底数). (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)证明:对任意的a≥1,当x>0时,f(x)≥(x+ae)x. 考点一 考点二 考点三 考点四 考点一 考点二 考点三 考点四 考点一 考点二 考点三 考点四 考点一 考点二 考点三 考点四 [对点训练3](2024·福建泉州模拟)已知函数f(x)=ex-axsin x-x-1(a∈R). (1)当a=0时,讨论函数f(x)的单调性; (2)当a= 时,证明:对任意的x∈(0,+∞),f(x)>0. (1)解 当a=0时,f(x)=ex-x-1,f'(x)=ex-1. 令f'(x)>0,解得x>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增; 令f'(x)<0,解得x<0,f(x)在(-∞,0)上单调递减. 考点一 考点二 考点三 考点四 考点一 考点二 考点三 考点四 考点四 特殊化处理证明数列不等式 例4(2022·新高考Ⅱ,22)已知函数f(