2025届高三数学一轮总复习第1课时利用导数研究不等式恒能成立问题课件

第1课时　利用导数研究不等式恒(能)成立问题 考情分析:导数的综合应用是高考考查的重点内容,也是高考压轴题之一,近几年高考命题的趋势是稳中求变、变中求新、新中求活.纵观近几年的高考题,导数的综合应用题考查多个核心素养以及综合应用能力,有一定的难度,一般放在解答题的最后位置,对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学学科的核心素养都有较深入的考查. 考点一 分离参数法解决不等式恒(能)成立问题 例1(2024·河南南阳模拟)已知函数f(x)=ln x+x- ,其中a∈R. (1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)如果对于任意x∈(1,+∞),都有f(x)>2,求实数a的取值范围. 所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y+1=4(x-1),即4x-y-5=0. 考点一 考点二 考点三 考点四 因为x∈(1,+∞),所以ln x>0,2x-1>0, 所以当x∈(1,+∞)时,g'(x)=ln x+2x-1>0,故g(x)在(1,+∞)上单调递增, 所以当x∈(1,+∞)时,g(x)>g(1)=1×ln 1+1-2×1=-1, 因为对于任意x∈(1,+∞),都有a<g(x)成立, 所以a≤-1,即实数a的取值范围是(-∞,-1]. 考点一 考点二 考点三 考点四 考点一 考点二 考点三 考点四 [对点训练1](2024·广东深圳模拟)已知f(x)=ax-ln x,a∈R. (1)讨论f(x)的单调区间和极值; (2)若x∈(0,e]时,不等式f(x)≤3有解,求a的取值范围. 考点一 考点二 考点三 考点四 考点一 考点二 考点三 考点四 考点一 考点二 考点三 考点四 例2(2024·福建泉州模拟)已知函数f(x)=ln x-mx2+(1-2m)x+1. (1)若m=1,求f(x)的极值; (2)若对于任意x>0,f(x)≤0恒成立,求整数m的最小值. 考点一 考点二 考点三 考点四 考点一 考点二 考点三 考点四 当x∈(0,x0)时,φ(x)>0,则F'(x)>0;当x∈(x0,+∞)时,φ(x)<0, 则F'(x)<0,所以F(x)在(0,x0)内单调递增,在(x0,+∞)上单调递减, 考点一 考点二 考点三 考点四 考点一 考点二 考点三 考点四 考点二 最值法解决不等式恒(能)成立问题 例3(2024·江苏常州模拟)已知函数f(x)=ax2-ln x+(2a-1)x,其中a∈R. (1)讨论f(x)的单调区间; (2)设a>0,若不等式f(x)+ ≥0对x∈(0,+∞)恒成立,求a的取值范围. 考点一 考点二 考点三 考点四 综上所述,当a≤0时,f(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间; 考点一 考点二 考点三 考点四 考点一 考点二 考点三 考点四 考点一 考点二 考点三 考点四 [对点训练2](2024·湖北荆门模拟)设函数f(x)=ex-ax,x≥0且a∈R. (1)求函数f(x)的单调性; (2)若不等式f(x)≥x2+1恒成立,求实数a的取值范围. 解 (1)f'(x)=ex-a,x≥0. 当a≤1时,f'(x)≥0恒成立,则f(x)在[0,+∞)上单调递增; 当a>1时,若x∈(0,ln a),则f'(x)<0,f(x)在[0,ln a)上单调递减; 若x∈(ln a,+∞),f'(x)>0,则f(x)在(ln a,+∞)上单调递增. 考点一 考点二 考点三 考点四 考点一 考点二 考点三 考点四 考点一 考点二 考点三 考点四 考点三 分类讨论法解决不等式恒(能)成立问题 (1)当a=1时,讨论f(x)的单调性; 突破口:换元及因式分解. (2)若f(x)+sin x<0,求a的取值范围. 关键点:端点值代入获得临界条件,分类讨论确定参数范围. 审题指导:(1)将a=1代入解析式求导后,将f'(x)的表达式整理为关于cos x的形式,然后换元,因式分解,从而确定f'(x)的符号,得到函数的单调性. (2)将不等式化为g(x)<0的形式,然后借助g(x)在区间端点处的函数值g(0)=0以及其单调性应满足的条件来推断g'(x)满足的条件应为a≤0,然后再通过分类讨论解决问题. 考点一 考点二 考点三 考点四 　　　　　 　 　　　　　 　 求导后对f'(x)的表达式进行整理统一为用cos x表示的形式 换元 因式分解 考点一 考点二 考点三 考点四 因为t2+2t+2=(t+1)2+1>0,t-1<0,cos3x=t3>0, 确定导数的符号,需确定各因