2025届高三数学一轮总复习3节利用导数研究函数的极值最值课件

第3节 利用导数研究函数的极值、最值 课标解读 1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值. 3.体会导数与极值、最大(小)值的关系. 1 强基础 固本增分 2 研考点 精准突破 目录索引 1 强基础 固本增分 知识梳理 1.函数的极值与导数 函数极值反映的是函数局部的性质 条件 f'(x0)=0 x0附近的左侧f'(x)　　　0,右侧f'(x)　　　0  x0附近的左侧f'(x)　　　0,右侧f'(x)　　　0  图象 形如山峰 形如山谷 极值 f(x0)为极　　　值  f(x0)为极　　　值  极值点 x0为极　　值点  x0为极　　值点  极值点是一个实数 > < < > 大 小 大 小 微点拨对函数极值的理解 (1)函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值,即端点一定不是函数的极值点. (2)在一个给定的区间上,函数可能有若干个极值点,也可能不存在极值点;函数可以只有极大值没有极小值,或者只有极小值没有极大值,也可能既有极大值又有极小值. 微思考若函数f(x)可导,则当f'(x0)=0时,f(x)一定在x=x0处取得极值吗? 提示 不一定.f'(x0)=0是f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件,例如f(x)=x3,满足f'(0)=0,但f(x)=x3在x=0处不取得极值. 2.函数的最值与导数 　反映的是函数整体的性质 (1)一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条　　　　　　的曲线,那么它必有最大值和最小值.  (2)一般地,求函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下: ①求函数y=f(x)在区间(a,b)上的　　　;  ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值　　　　　比较,其中最大的一个是　　　　　　,最小的一个是　　　　　　.  连续不断 极值 最大值 f(a),f(b) 最小值 微点拨对函数最值的理解 (1)函数在其定义域上或在某给定区间上若存在最大(小)值,则其具有唯一性,即只能有一个最大(小)值; (2)函数的最值可以在区间端点处取得,但极值不能在区间端点处取得; (3)函数有最值时,不一定有极值;有极值时,不一定有最值; (4)若f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a),f(b)分别是f(x)在[a,b]上的最小值、最大值;若f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a),f(b)分别是f(x)在[a,b]上的最大值、最小值. 常用结论 1.有极值的函数一定不是单调函数. 2.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),其导数f'(x)=3ax2+2bx+c,方程3ax2+2bx+c=0的判别式Δ=4b2-12ac,有以下结论: Δ>0 函数f(x)在R上存在极值(既有极大值又有极小值) 函数f(x)在R上不是单调函数 Δ≤0 函数f(x)在R上不存在极值 函数f(x)在R上是单调函数(单调递增或单调递减) 自主诊断 题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”) 1.一个函数的极大值一定比极小值大.(　　) 2.函数在闭区间上的最值一定在端点处取得.(　　) 3.函数在开区间上的最值一定是相应的极值.(　　) × × √ 题组二回源教材 4.(人教B版选择性必修第三册6.2.2节练习B第3题改编)设函数f(x)=ax3+3x+2有极值,则实数a的取值范围是　　　　　　　,函数的极值 点是　　　　.  (-∞,0) 解析 当a=0时,f(x)=3x+2没有极值,不合题意;当a≠0时,f'(x)=3ax2+3,则f'(x)=3ax2+3=0应有两个不相等的实数根,所以Δ=-36a>0,解得a<0,此时 f'(x)=0的根是x=± ,此即为极值点. 5.(人教A版选择性必修第二册5.3.2节例7改编)给定函数f(x)=(x+1)ex,则函数的最小值为　　　　.  解析 由已知得f'(x)=(x+2)ex,令f'(x)=0,得x=-2,当x<-2时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x>-2时,f'(x)>0,f(x)单调递增,因此f(x)在x=-2处取得极小值f(-2)= ,所以由f(x)的图象(图略)可知,函数的最小值为 . 题组三连线高考 B 7.(2021·全国乙,文12)设a≠0,若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点,则 (　　) A.a<b B.a>