2025届高三数学一轮总复习第2节利用导数研究函数的单调性课件

第2节 利用导数研究函数的单调性 课标解读 1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性;对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间. 3.体会导数与单调性的关系. 1 强基础 固本增分 2 研考点 精准突破 目录索引 1 强基础 固本增分 知识梳理 函数的单调性与其导数的关系 条件 导数的符号 函数的单调性 函数f(x)在区间(a,b)内可导 f'(x)>0 不等式中不带“=” f(x)在(a,b)内　　　　　  f'(x)<0 不等式中不带“=” f(x)在(a,b)内　　　　　  单调递增 单调递减　 微思考“函数f(x)在区间(a,b)内的导数大(小)于0”是“f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)”的什么条件? 提示 充分不必要条件.若函数f(x)在区间(a,b)内的导数大(小)于0,则必有f(x)在区间(a,b)内单调递增(减),但反之不一定,例如f(x)=x3在R上单调递增,但f'(x)=3x2≥0. 微点拨利用导数求函数单调区间的步骤: (1)求函数的定义域; (2)求f(x)的导数f'(x); (3)在定义域内解不等式f'(x)>0的解集即为单调递增区间,f'(x)<0的解集即为单调递减区间. 常用结论 1.若函数f(x)在区间(a,b)内单调递增(减),则在(a,b)内f'(x)≥0(≤0)恒成立. 2.若函数f(x)在区间(a,b)内存在单调递增(减)区间,则在(a,b)内f'(x)>0(<0)有解. 3.如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么这个函数在这个范围内变化得较快,其图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,图象就比较“平缓”. 自主诊断 题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”) 1.若函数f(x)在其定义域上有f'(x)<0,则f(x)在定义域上单调递减.(　　) 2.若函数f(x)在(a,b)内恒有f'(x)≥0,且f'(x)=0的根为有限个,则f(x)在(a,b)内单调递增.(　　) 3.一个函数在某一范围内变化得越快,其导数就越大.(　　) 4.若函数f(x)=x3+ax2+bx在R上单调递增,则a2-3b<0.(　　) × √ × × 题组二回源教材 5.(人教B版选择性必修第三册6.2.1节练习A第2题改编)已知函数f(x)的定义域为R,且f'(x)=2x-1,则f(x)的单调递增区间是　　　　　　　　.  6.(人教A版选择性必修第二册5.3.1节例1(2)改编)函数f(x)=sin x-x在(0,π)内的单调递减区间是　　　　.  (0,π) 解析 由于f(x)=sin x-x,所以f'(x)=cos x-1,因为x∈(0,π),所以f'(x)<0,因此f(x)在(0,π)内单调递减,即函数的单调递减区间是(0,π). 题组三连线高考 7.(2023·新高考Ⅱ,6)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)内单调递增,则a的最小值为(　　) A.e2 B.e C.e-1 D.e-2 C 8.(2023·全国乙,理16)设a∈(0,1),若函数f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)单调递增,则a的取值范围是　　　　　.  解析 由题意得f'(x)=ax·ln a+(1+a)x·ln(1+a). 易知f'(x)不恒为0. ∵f(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴f'(x)=ax·ln a+(1+a)x·ln(1+a)≥0对∀x>0恒成立. 2 研考点 精准突破 考点一 求不含参数函数的单调区间 例1(1)(2024·吉林长春模拟)函数f(x)=x-2ln(2x)的单调递减区间为(　　) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(0,2) D.(2,+∞) C 考点一 考点二 考点三 (2)(2024·北京海淀模拟)已知函数f(x)= +1,则函数f(x)的单调递减区间为　　　　　　　　.  (-∞,-1)和(1,+∞) 解析 函数f(x)的定义域为R,f'(x)= ,令f'(x)<0,解得x>1或x<-1,所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1)和(1,+∞). 考点一 考点二 考点三 (3)(2024·山东潍坊模拟)函数f(x)=e-xcos x,x∈(0,π)的单调递增区间为　　　　　　　.  考点一 考点二 考点三 (4)(2024·福建宁德模拟)函数f(x)=x2ex-e(x+2ln x)的单调递增区间是　 .  (1,+∞)　 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 考点二 讨论含参数函数的单调性 例2(2024·福建泉州模拟)已知函数f(x)=(x-2)