2024年中考数学重难题型研究（山西卷）题型五 综合与探究——二次函数与几何图形探究题（十一）二次函数中相等角的存在性问题

2024年中考数学重难题型研究（山西卷） 题型五 综合与探究——二次函数与几何图形探究题（十一） 二次函数中相等角的存在性问题 1、 题型解读 二次函数中相等角的存在性问题作为压轴题目，结合了“分类讨论思想”，“方程思想”“三角函数”，势必要比证明两个角相等思考难度要大得多，所以在解决二次函数中相等角的存在性问题注意利用数形结合的数学思想，从数与形不同的角度寻找解题策略。 二、解题策略 1. 【基本概念】 角相等问题在坐标系中可以由以下几种方式得到： （1） 等腰三角形两底角相等； （2） 平行线的性质； （3） 相似三角形对应角相等； （4） 等角三角函数相等。 2.【基本题型】 （1）已知等角求坐标 （2）构造等角求坐标 3.【解题思路】 类型一：将等角问题转化成等腰三角形或平行线问题。 类型二：将等角问题转化成等角所在三角形相似或等角对应的三角函数（通常是正切值）相等问题。这类问题有两种情况：一种是所求角的一边与坐标轴平行（重合）；另一种是所求角的边不与坐标轴平行。 类型一：已知等角，求点的坐标 当题目中出现相等的角时，可以通过计算已知角的三角比，用所求点的横纵坐标表示另一角的三角比，从而建立等量关系；同时也可以通过构造相似三角形，利用比例线段解决问题。 例1-1．如图，已知抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，P是抛物线上一点，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，，若，求点P的坐标； (3)若，直接写出点P的坐标． 例1-2．综合与探究． 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接． (1)求，，三点的坐标； (2)若点是轴上一点，当为等腰三角形时，求点的坐标； (3)点是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 针对练习1 1．如图1，已知抛物线（为常数，）经过点，与轴交于点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)如图2，若点为第二象限内抛物线上一点，连接，当与的面积和最大时，求点的坐标及此时与的面积和； (3)如图3，点是抛物线上一点，连接，当时，求点的坐标． 2．已知有如下抛物线：，经过A，B，C，已知A为，，请回答以下题目：    (1)求解该抛物线的解析式并求出顶点的坐标； (2)若点D在x轴的上方的抛物线上，点N在点C上方： ①当是以为底边的等腰三角形时，求出点D的坐标； ②若时，求出点D的坐标； ③若直线交y轴于点N，过B作的平行线交y轴于点M，当D点运动时，求出的最大值以及此时D的坐标． 3．综合与探究 如图1，二次函数的图象与轴交于，（点在点的左侧）两点，与轴交于点．直线经过，两点，连接． (1)求抛物线的函数表达式． (2)在抛物线上是否存在除点外的点，使得？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，将沿轴正方向平移得到（点A，O，C的对应点分别为，，），，分别交线段于点E，F，当与的面积相等时，请直接写出与重叠部分的面积． 类型二：构造等角，求点的坐标 将等角问题转化成等腰三角形或平行线问题。 例2-1.如图，已知二次函数的图象经过点， ，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点，使，若存在请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． 例2-2．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接，，请求出面积的最大值； (3)点在抛物线上移动，连接，存在，请直接写出点的坐标． 针对练习2 1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接、． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线上位于直线下方一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，点是抛物线上一点，连接，当线段的中点恰好在轴上时，探究抛物线上是否存在点，使．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 2．已知二次函数的图像经过点，点，点，    (1)求该二次函数的解析式； (2)如图1，点为线段上方抛物线上任意一点，过作于点轴交于点，求周长的最大值； (3)在（2）的条件下，为抛物线上一动点，当时，求点的横坐标． 3.如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，连接，． (1)求抛物线的表达式，并直接写出所在直线的表达式． (2)点P为第四象限内抛物线上一点，连接，，使得，求此时点P的坐标． (3)直线上是否存在一点D，使得？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 总结：综合上面题目，对于二次函数中的角相等问题，首选方法是利用等角的三角比解决问题（利用一线三等角模型或者拆分特殊