6.4数列求和课件-2025届高三数学一轮复习

第4节 数列求和 课标解读 1.巩固等差数列、等比数列前n项和公式. 2.掌握数列求和的裂项相消求和法、错位相减求和法、拆项分组求和法、并项转化求和法、倒序相加求和法,能够解决数列的求和问题. 1 强基础 固本增分 2 研考点 精准突破 目录索引 1 强基础 固本增分 知识梳理 1.特殊数列的求和公式 推导方法:倒序相加法 推导方法:乘公比,错位相减法 　　　　　 　　　 　　　　 　　　　 2.非特殊数列求和的几种常用方法 (1)倒序相加法:如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的. (2)分组求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和后再相加.如已知an=2n+(2n-1),求Sn. (3)并项求和法:若一个数列的前n项和中两两结合后可求和,则可用并项求和法.如已知an=(-1)nf(n),求Sn. (4)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求,如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的. (5)裂项相消法:把数列的通项公式拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和. 错位相减时,要注意最后一项的符号 常用结论 常用裂项公式 自主诊断 题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”) 2.求Sn=a+2a2+3a3+…+nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得.(　　) 3.利用倒序相加法可求得sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°=44.5.(　　) 4.若在数列{an}中,an=(-1)n(3n-1),则其前30项的和等于45.(　　) × × √ √ 题组二回源教材 5.(人教A版选择性必修第二册4.4节第51页练习第2题改编)在数列{an}中,an= ,则{an}的前n项和为　　　　.  6.(人教A版选择性必修第二册习题4.3第6题改编)已知数列1,11,111,1 111, 11 111,…,则它的前n项和为　　 　　.  7.(人教A版选择性必修第二册习题4.3第3(2)题改编)1+2x+3x2+…+ =　　 　　(x≠0且x≠1).  题组三连线高考 A 9.(2020·全国Ⅰ,理17)设{an}是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等差中项. (1)求{an}的公比; (2)若a1=1,求数列{nan}的前n项和. 解 (1)设{an}的公比为q,由题设得2a1=a2+a3,即2a1=a1q+a1q2. 所以q2+q-2=0,解得q=1(舍去),q=-2.故{an}的公比为-2. (2)记Sn为{nan}的前n项和. 由(1)及题设可得,an=(-2)n-1. 所以Sn=1+2×(-2)+…+n×(-2)n-1, -2Sn=-2+2×(-2)2+…+(n-1)×(-2)n-1+n×(-2)n. 2 研考点 精准突破 考点一 分组转化法求和 例1(2024·山东济南模拟)已知数列{an}满足a1=1,nan+1-(n+1)an=1. 考点一 考点二 考点三 考点四 考点一 考点二 考点三 考点四 考点一 考点二 考点三 考点四 [对点训练1](2024·湖南岳阳模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,其公比 考点一 考点二 考点三 考点四 考点一 考点二 考点三 考点四 考点二 并项转化法求和 例2(2024·福建泉州模拟)在数列{an}中,a1=1,且an+1=2an+n-1. (1)证明:数列{an+n}为等比数列,并求出an; (2)记数列{bn}的前n项和为Sn,若an+bn=2Sn,求S11. (1)证明 因为an+1=2an+n-1,所以 =2,又a1+1=2,所以数列{an+n}是首项为2,公比为2的等比数列,故an+n=2×2n-1=2n,可得an=2n-n. 考点一 考点二 考点三 考点四 (2)解 因为2Sn=an+bn=bn+2n-n,即2Sn=bn+2n-n,① 所以当n=1时,2b1=b1+1,解得b1=1, 当n≥2时,2Sn-1=bn-1+2n-1-n+1,② ①-②得2bn=bn-bn-1+2n-1-1, 整理得bn+bn-1=2n-1-1.所