2023-2024学年人教A版（2019）高二数学选择性必修一椭圆及其标准方程课件

第三章 圆锥曲线的方程 3.1.1 椭圆及其标准方程 授课老师：XXX 学习目标 掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程． 掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程． 理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题． 核心素养 数学抽象 曲线与方程的关系； 逻辑推理 椭圆标准方程的推导； 数学运算 根据条件求椭圆的标准方程. 课程导入 前面我们用坐标法研究了直线、圆及它们的位置关系. 生产、生活中还有许多非常有用、有趣、我们还不大熟悉的曲线需要研究. 问题1 如图，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆. 如果改变截面与圆锥的轴所成的角，会得到怎样的曲线呢？ 课程导入 课程导入 用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线. 结论 我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线. 椭圆的概念 生活中的椭圆 一、引入 水杯直立时，其液面形状为何形状？ 水杯倾斜时，其液面形状为何形状？ 发现圆与椭圆存在一定联系，学习椭圆时应先回顾圆。 二、合作探究，形成概念 1.利用手中的细线，如何绘制出圆？ 取一细线让两端重合（端点记为 ），套上笔尖，拉紧细线移动笔尖（动点），画出的轨迹即为圆。 2.如果让两端分开一段距离（端点记为 ），套上笔尖，拉紧细线移动笔尖（动点），画出的轨迹？ 椭圆 （一）探究思考 二、合作探究，形成概念 （二）形成概念 圆 椭圆 图形 定义 ①平面内 ②动点 的 约束条件 ②动点 的 约束条件 ①平面内 二、合作探究，形成概念 （二）形成概念 椭圆的定义：平面内与两个定点 的距离的和等于常数（记作 ） 的点的轨迹叫做椭圆， 这两个定点叫做椭圆的焦点 两焦点的距离叫做椭圆的焦距 椭圆 线段 不存在 椭圆的标准方程 求曲线的方程(轨迹方程),一般有几个步骤: 三、深化研究，构建方程 （一）回顾点的轨迹方程求法 1.建系、设标 2.写出几何条件并用坐标表示 3.化简并检验 三、深化研究，构建方程 （二）类比学习，大胆猜测 1.圆 2.椭圆 三、深化研究，构建方程 （三）实践计算，小心求证 解：建立如图坐标系； 设出曲线上动点 限制条件 列出方程 即： 三、深化研究，构建方程 （三）实践计算，小心求证 椭圆的标准方程： 三、深化研究，构建方程 椭圆 焦点在 轴上 焦点在 轴上 图形 定义 ①平面内 ②动点 的约束条件 ①平面内 ②动点 的约束条件 方程 1.已知椭圆焦点坐标分别为 ，并经过点 ， 求其标准方程。 四、应用拓展，能力提升 解： 由于椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为 由椭圆的定义知， 所以 . 所以. 所以椭圆的标准方程为 四、应用拓展，能力提升 你还能用其他方法求它的标准方程吗？试比较不同方法的特点. 解： 因为所求椭圆经过点， 所以 . 又因为 可解得 ， . 所以椭圆的标准方程为 . 与椭圆有关的轨迹问题 例题解析 例2 如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足. 当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？为什么？（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合.） 分析： 1. 如何求出线段的中点的轨迹？ 求点的坐标所满足的轨迹方程. 2. 求轨迹问题的基本思路与方法是什么？ 通过建立点与已知曲线上点的联系，利用已知曲线的方程求解. 点在圆上运动，点的运动引起点运动. 我们可以由为线段的中点得到点与点坐标之问的关系式，并由点的坐标满足圆的方程得到点的坐标所满足的方程. 例题解析 解： 设点的坐标为，点的坐标为则点的坐标为. 由点是线段的中点，得 因为点 在圆上，所以 把代入上式得 即 所以点M的轨迹是椭圆. 例题解析 例题解析 寻求的坐标 中与之间的关系，然后消去，得到点的轨迹方程，这是解析几何中求点的轨迹方程常用的方法. 解题方法 由例2我们发现，可以由圆通过“压缩”得到椭圆. 你能由圆通过“拉伸”得到椭圆吗？如何“拉伸”？由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？ 思考？ 例3 如图，设两点的坐标分别为 直线，相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程. 例题解析 分析： 设点的坐标为，那么直线，斜率就可用含的关系式分别表示. 由直线，斜率之积是，可得出之间的关系式，进而得到点的轨迹方程. 例题解析 解： 设点的坐标为， 因为点的坐标是， 所以直线的斜率 同理，直线的斜率 由已知，有