6.3.2二项式系数的性质课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第 六 章 计数原理 6.3.2 二项式系数的性质 1.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题; 2.理解二项式系数的性质并会灵活运用. 教学目标 难点:会用“赋值法”求展开式系数的和. 重点:能记住二项式系数的性质,并能解决相关问题. 温故知新 </m> 1.二项式定理. Tk+1=</m> 2.二项展开式的通项 3.二项式系数 概念讲解 探究1 :用计算工具计算(a+b)n的展开式的二项式系数,并填入下表中. (a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6 n (a+b)n的展开式的二项式系数 1 2 3 4 5 6 杨辉三角形 二项式系数的性质 概念讲解 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 为了便于发现规律, 上表还可以写成如下所示的形式: 观察上图,你还能发现哪些规律? ①在同一行中 , 每行两端都是1 , 与这两个1等距离的项的系数相等 . 即: ②在相邻的两行中, 除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和 . 即: 杨辉三角形 概念讲解 对于确定的n,我们还可以画出它的图像. Cnr可看成是以r为自变量的函数f(r),其定义域是: 例如,当n=6 时,f(r)=Cnr (r∈{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6})的图象是右图中的7个离散点. f(r) r 6 3 O 6 15 20 1 10 对于(a+b)n展开式的二项式系数: 还可以从函数角度来分析它们. 概念讲解 性质1. 对称性 由此我们可得二项式系数有以下性质: 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. r f(r) O 1 2 3 5 10 15 20 4 5 6 事实上,这一性质可直接由公式 得到. 图象的对称轴为 概念讲解 性质2.增减性与最大值 r f(r) O 1 2 3 5 10 15 20 4 5 6 概念讲解 探究2:已知 = 令x=1 得= 所以,的展开式的各二项式系数之和为2n 赋值法 性质3: 各二项式系数的和 各二项式系数的和 结论: 思考 例题剖析 例1.求证:在的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 性质3: 各二项式系数的和 例题剖析 例1.求证:在的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 证明:在展开式 =中, 令a=1,b=-1,得 即因此 即在的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 即 概念辨析 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“ ”) (1)二项展开式中系数最大的项与二项式系数最大的项是相同的.( ) (2)二项展开式的二项式系数和为 <m></m> .( ) (3)在 <m></m> 的展开式中,当 <m></m> 为偶数时,二项展开式中中间一项的系数最大.( ) (4)在 <m></m> 的展开式中,二项式系数具有对称性,所以 <m></m> .( ) 导学案29页 2.(1-x)5的二项展开式中,所有项的二项式系数之和是( ) A.0 B.-1 C.-32 D.32 D 课本34页练习 一 填空题 1024 新知运用 例2 (多选题)(2023 重庆高二月考)若 的展开式共有8项,则下列有关该 二项展开式的说法正确的是( ) . BC A. B.各二项式系数的和为128 C.二项式系数最大的项有2项 D.第4项与第5项的系数相等且最大 15 [解析] 由题意可知,因为 的展开式共有8项,所以 ,所以A错误; 根据二项式系数和的性质,可得二项式系数的和为 ,所以B正确; 根据二项式系数的性质,可得中间项的二项式系数最大,即第4项和第5项的二项式系 数最大,所以C正确; 因为 的展开式的第4项为 ,第5项为 ,所以展开式中第4项与第5项的系数不相等,所以D错误. 故选 . 16 &2& 1.二项式系数最大的项的求法 求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质对 中的 进行讨论: (1)当 为奇数时,中间两项的二项式系数最大; (2)当 为偶数时,中间一项的二项式系数最大. 2.展开式中系数最大的项的求法? 求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的,需要根据各项系数 的正、负变化情况进行分析.如求 的展开式中系数最大的项,一般 采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为 , , , , ,且第 项 最大,应用 解出 ,即可得出系数最大的项. 17 例题剖析 例2.已知(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项. 解得5≤k≤6. ∴k=5或k=6(∵k∈{0,1,2,…,8}). ∴系数最大的项为T6=1 792x5,T7=1 792x