3.1 复数的概念 课件-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第3章 复数 3.1 复数的概念 1 1.了解引进虚数单位 的必要性，了解数系的扩充过程.（数学抽象） 2.理解复数的概念、表示方法及相关概念.（数学抽象） 3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件.（逻辑推理） 学习目标 2 1.什么是复数？它的代数形式是什么？ [答案] 形如（其中，）的数称为复数，其代数形式为 . 2.什么是虚数单位？对于虚数单位有什么规定？ [答案] 称为虚数单位，规定： . 3.复数分为哪两大类？ [答案] 实数，虚数. 自主预习 3 4.两个复数相等的条件是什么？ [答案] 两个复数相等的条件是它们实部和实部相等，虚部和虚部相等. 自主预习 4 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）若，为实数，则 为虚数.( ) × （2）复数 的实部不存在，虚部为0.( ) × （3） 是纯虚数.( ) × （4）如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等.( ) √ 2.（多选题）若复数为实数，则实数 的值可以为 ( ) . AB A. B.2 C.1 D. [解析] 因为复数 为实数， 所以，解得或 . 自主预习 5 3.已知，，若，则 ___. 5 [解析] 由题意知，，即， . 自主预习 6 探究1 复数的相关概念 问题1： 方程有解吗？解是什么？方程 在实数范围内有解吗？ [答案] 方程有解，解是，方程 在实数范围内没有解. 问题2： 若有一个新数满足，试想方程 有解吗？ [答案] 有解 ，但不在实数范围内. 合作探究 7 问题3： 添加之后， 与原来的实数之间进行加法、乘法运算的时候，会产生怎样的新数？ [答案] 若与实数相乘再与实数相加则可得到形式为 的新数. 问题4： 复数由哪些数组成？ [答案] 由实数和虚数组成. 合作探究 8 新知生成 1.复数 （1）定义：形如（其中，）的数称为复数，其中称为复数 的实 部，称为复数的虚部，称为虚数单位，满足 . （2）表示方法：通常用字母表示复数，即 . 一般将复数的实部记作，虚部记作 . 2.复数集 全体复数组成的集合称为复数集，用C表示，于是， }. 合作探究 9 3.复数的分类 当时，复数就是实数；当时，称为虚数；而当且 时， 称为纯虚数. 复数 合作探究 10 新知运用 例1 （多选题）已知复数 ，则下列结论正确的是( ) . ACD A.的实部是 B.的虚部是 C.若，则, D.当且时， 是纯虚数 [解析] 的实部是，虚部为 ，故A正确，B错误； 若，则, ，故C正确； 当且时， 是纯虚数，故D正确. 合作探究 11 例2 当实数为何值时，复数 是下列数？ （1）虚数； （2）纯虚数. [解析] （1）当即且时，复数 是虚数. （2）当即或时，复数 是纯虚数. 合作探究 12 &1& （1）一个数的平方为非负数在实数范围内是真命题，在复数范围内是假 命题，所以在判定数的性质并给出结论时，一定要注意在哪个数集范围内.（2）确定 复数的实部、虚部时，不但要把复数化为的形式，而且要注意这里的， 均为 实数. 合作探究 13 1.给出下列说法：①复数的虚部是；②形如 的数一定是虚数；③ 若，，则 是纯虚数；④若两个复数能够比较大小，则它们都是实数. 其中说法错误的个数是( ) . C A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] 复数的虚部是3，①错误；形如 的数不一定是虚数，②错误； 只有当，时， 是纯虚数，③错误；若两个复数能够比较大小， 则它们都是实数，故④正确.所以说法错误的有3个. 合作探究 14 2.当实数为何值时， 是下列数？（1）实数； （2）虚数；（3）纯虚数. 合作探究 15 [解析] （1）若为实数，则 即解得 . 当时， 为实数. （2）若是虚数，则 即解得且 . 当且时， 为虚数. 合作探究 16 （3）若为纯虚数，则 即即解得 . 当时， 为纯虚数. 合作探究 17 探究2 复数相等 问题1： 由能否推出 ？两个实数能比较大小，那么两个复数能比较 大小吗？ [答案] 由不能推出 .当两个复数都是实数时，可以比较大小；当两个 复数不全是实数时，不能比较大小. 问题2： 若复数，则实数, 满足什么条件？ [答案] 若复数，则实数,满足，且 . 问题3： 如何确定两个复数是否相等？ [答案] 根据复数的定义知，两个复数相等当且仅当它们的实部与虚部分别对应相等. 合作探究 18 新知生成 若两个复数, 的实部与虚部分别相等，则称这两个复数相 等，即且.特别地，且 . 合作探究 19 新知运用 例3 （1）给出下列说法： ①若，则 ； ② ； ③若，且