1.6.2 正弦定理的应用 课件-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第1章 平面向量及其应用 1.6 解三角形 1 课时3 正弦定理的应用 2 #b# 1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.（逻辑推理、数学运 算） #b# 2.能利用正弦定理、三角变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题.（逻辑推 理、数学运算） 学习目标 3 1.在中，，，的面积为4，则 等于( ) . B A. B. C. D. [解析] 由，得，解得 ，所以 ． 自主预习 4 2.在中，若 ，，其面积为，则 ( ) . C A. B. C. D. [解析] 由，得，解得 ， 由余弦定理得，解得 ， 由正弦定理得 . 自主预习 5 3.在中， ， ， ，则最短边的长等于_ __. [解析] 由三角形内角和定理得 .由三角形的边角关系得角所对的边 为最短边. 由正弦定理得 ． 自主预习 6 4.在中，已知， ，则 的外接圆的面积为___． [解析] 的外接圆直径.故半径 ，即外接圆的面积 为 ． 自主预习 7 探究1 扩充的正弦定理 问题1： 任意三角形都有外接圆吗？外接圆的半径与正弦定理的比值有关系吗？ [答案] 都有外接圆.有关系. 问题2： 教材中是如何推导外接圆的半径与正弦定理的比值关系的？它们的关系是什么？ [答案] 教材中分了直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三种情形来探究，它们的关 系是（ 为外接圆的半径）. 合作探究 8 新知生成 扩充的正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值为一个常数， 这个常数等于该三角形外接圆的直径，即（ 为外接圆的半 径）. 合作探究 9 新知运用 例1 在中，，，，则 外接圆的面积为( ) . C A. B. C. D. 方法指导 首先根据余弦定理求，再求，再根据正弦定理求 外接圆的 半径，即可求得圆的面积. [解析] 由余弦定理可知 ， 所以 ， 由正弦定理得，即 ， 所以外接圆的面积 . 合作探究 10 &1& 求三角形外接圆的面积的基本思路是求三角形外接圆的半径.三角形各边与 它所对角的正弦值的比值为一个常数，这个常数等于该三角形的外接圆的直径. 合作探究 11 在中，内角,,的对边分别为,,.若的面积满足 ， ，则 的外接圆的周长等于( ) . A A. B. C. D. [解析] 因为，所以 . 又，所以 . 由余弦定理，得，所以，显然 ， 所以，即，所以，所以的外接圆半径 ， 则外接圆的周长为 . 合作探究 12 探究2 正弦定理的变形及应用 问题1： 在中，，则 成立吗？ [答案] 成立，由于在中，，有，则 . 问题2： 在中， 成立吗？ [答案] 成立，由正弦定理知 正确. 问题3： 在中，若，是否有 ？反之，是否成立？ [答案] ，.又， . 反之，若，则，即.故 . 合作探究 13 新知生成 正弦定理的常见变形： （1）（边化角），，（为 外接圆的 半径）. （2）（角化边），，（为 外接圆的半径）. （3） . （4） . 合作探究 14 新知运用 例2 的内角，，所对的边分别为，，，若 且 ，则该三角形是( ) . A A.等腰直角三角形 B.等边三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 [解析] 因为，所以，即.又 ，所以 ，即为直角三角形,而，所以 为等腰直角三角形. 合作探究 15 &2& （1）判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行转化，既可以转 化为边与边的关系，也可以转化为角与角的关系.（2）在边角互化的过程中，注意正 弦定理的变形使用，如 等. 合作探究 16 在中，若，则 的形状是__________． 直角三角形 [解析] 由已知得，由正弦定理得， ， ，所以，即，所以.故 是直角三角形． 合作探究 17 探究3 三角形的面积 问题1： 在中，边，，上的高分别记作，， ，那么它们如何用 已知边和角表示？ [答案] ，， . 问题2： 对比以前所学的三角形面积公式，如何用语言叙述它们？ [答案] 三角形的面积是三角形任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半. 合作探究 18 问题3： 你能用坐标法证明 吗？ [答案] （以已知，，为例）以的顶点为原点，射线 的方向为轴正方向建立平面直角坐标系，则顶点 的坐标为 . 过点作边上的高，则根据三角函数的定义可得 ， 所以的面积 . 同理可得， . 故 . 合作探究 19 新知生成 任意三角形的面积公式