1.6.2 正弦定理 课件-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第1章 平面向量及其应用 1.6 解三角形 1 课时2 正弦定理 2 #b# 1.通过对任意三角形边长和角度的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法. （逻辑推理、数学运算） #b# 2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题.（逻辑推理、数学运 算） 学习目标 3 1.正弦定理的内容是什么？ [答案] 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即 . 2.在正弦定理中，三角形的各边与其所对角的正弦的比值都相等，那么这个比值等于多少？与该三角形外接圆的直径有什么关系？ [答案] 等于（ 为该三角形外接圆的半径），与该三角形外接圆的直径相等. 自主预习 4 3.已知三角形的两边及其夹角，为什么不必考虑解的个数？ [答案] 三角形的两边及其夹角确定时，三角形的六个元素即可完全确定，故不必考虑解的个数的问题. 自主预习 5 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）正弦定理对任意的三角形都成立.( ) √ （2）在中，等式 总能成立.( ) √ （3）在中，已知，，，则能求出唯一的角 .( ) × （4）任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素.( ) × 2.在中，，， ，则 ( ) . A A. B. C. D. [解析] 由于，故，解得 .故选A. 自主预习 6 3.在中， ，， ，则这个三角形有( ) . A A.一解 B.两解 C.无解 D.无法确定 [解析] ， ， ，故三角形有一解.故选A. 自主预习 7 探究1 正弦定理 如图，在中， ，斜边 . 问题1： 试求其他的边和角，计算，， 的值，从中你能 发现什么结论吗？ [答案] ， ，，；， ， ，三者的值相等. 合作探究 8 问题2： 对于其他的直角三角形，此结论是否成立呢？是否能够猜测，此结论对于锐角和钝角三角形都成立呢？ [答案] 对于其他的直角三角形结论成立.如图,中， ， ，, . ， . 可以猜测，此结论对于锐角和钝角三角形都成立. 合作探究 9 新知生成 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 . 合作探究 10 新知运用 例1 在中，，，， 是钝角. （1）求角 ； （2）求 . 方法指导（1）先求得，然后利用正弦定理求得，从而求得角 （2）利用余 弦定理求得 . 合作探究 11 [解析] （1）， ， . ，， . 是钝角， . （2）由余弦定理得，解得 , ，舍去， . 合作探究 12 &1& 已知三角形的两角和任一边解三角形的基本思路 （1）当所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求出另一个角所对的边，由三角形内 角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边. （2）当所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦 定理求另外两边. 合作探究 13 若的内角，，的对边长分别为，，，，，则 ______. 或 [解析] 由及正弦定理得，又因为 ， 所以，所以 . 又,所以或 . 合作探究 14 探究2 利用正弦定理解三角形 木工张师傅的一个三角形形状的模型坏了，只剩下如图所示的部 分， ， ，长为 ，张师傅想修好这个零件，但 他不知道和 的长度是多少，你能帮张师傅这个忙吗？ 合作探究 15 问题： 解答情境中的问题. [答案] ，利用正弦定理 可得 ， ，利用计算器计算相关三角函数值可求 出， 的长度. 合作探究 16 新知生成 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角. 合作探究 17 新知运用 例2 在中，已知， ， ，求，， . 方法指导 本例是已知三角形的两角和一边解三角形，其基本解题思路：先由三角形的 内角和定理求出角，再由正弦定理公式的变形，求另外的两条边， . [解析] . 由得， ， 由得， . ，， . 合作探究 18 &2& 解三角形中的常用结论 （1）在中，,, ，即任意两边之和大于第三边. （2）在中，① ,② ,③ . （3）在中， ，即大角对大边，大边对大角. 合作探究 19 （4）在中，三角形内角和定理及相关结论： , , ,,,, . （5）在锐角中， . （6）在中，若,则或 . 合作探究 20 1.的内角，，的对边分别为，，，已知 ，， ，则 ____. [解析] 由题意得，所以. 因为 ，所以 ，所以 . 合作探究 21 2.的内角，，的对边分别为，，，若，， ，则