1.4.2 向量线性运算的坐标表示课件-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第1章 平面向量及其应用 1.4 向量的分解与坐标表示 1 课时2 向量线性运算的坐标表示 2 1.掌握平面向量加法、减法、一个实数与向量的积的坐标运算法则,能够进行向量的 坐标运算.(逻辑推理、数学运算) #b# 2.掌握平面向量共线的坐标表示方法.(逻辑推理、数学运算) #b# 3.能够运用向量坐标表示和向量共线的坐标表示解决相关问题.(逻辑推理、数学运算) 学习目标 3 1.上节课我们学习了平面向量的坐标表示,如果已知, ,想一 想如何由,的坐标求, 的坐标? [答案] 可以通过坐标的加减求, 的坐标. 自主预习 4 2.我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示,那么如何表示平面直角坐标系内的一个向量呢? [答案] 在平面直角坐标系中,平面内的每一个向量都对应一对有序实数. 3.由于,如果,是否能得出,对于任意的 , 都有 成立吗? [答案] 是,成立. 自主预习 5 1.已知向量,,则 ( ) . B A. B. C. D. [解析] 由题意得 . 自主预习 6 2.已知向量,,则向量 的坐标是( ) . C A., B., C. D. [解析] . 自主预习 7 3.若,,,则 _. [解析] . 自主预习 8 4.已知向量,, . (1)求 ; (2)若,求实数 的值. [解析] (1)因为,, , 所以 . (2)由已知可得 , . 因为,所以,解得 . 自主预习 9 探究1 平面向量的坐标运算 设,是与轴、轴同向的两个单位向量,若, ,则 , . 问题1: 根据向量的线性运算性质,向量,如何分别用基, 表示呢? [答案] , . 合作探究 10 问题2: 向量加减运算可以类比数的运算进行吗? [答案] 向量加、减的坐标运算可完全类比数的运算进行. 问题3: 已知,你能得到 的坐标吗? [答案] 能,因为,所以 ,根据向量的坐标可得 . 合作探究 11 新知生成 1.两个向量坐标的和、差 两个向量, 的和(或差)的坐标等于这两个向量相应坐标 的和(或差),即 加法 减法 合作探究 12 2.向量数乘运算的坐标表示 一个实数 与向量 的积的坐标等于这个数乘以向量相应的坐标,即 . 3.向量坐标 在平面直角坐标系中,向量的坐标等于终点的坐标减去起点 的坐标 ,即 . 合作探究 13 新知运用 例1 已知向量, ,求: (1);(2);(3) . 方法指导 先利用数乘向量的坐标运算,再利用向量坐标的加减运算. [解析] (1) . (2) . (3) . 合作探究 14 &1& 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘的运算法则进行.若已知有向线段 两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使 用运算法则. 合作探究 15 已知向量,,则_, _. [解析] 由,,得 , 所以, , 所以 . 合作探究 16 探究2 向量共线的坐标表示 设向量,,根据共线向量定理,当与 共线时,存在唯 一实数 ,使 . 问题1: 根据向量数乘运算的坐标表示,你能发现与 的坐标之间的关系吗? [答案] 因为向量与共线的充要条件是存在实数 ,使 ,用坐标表示为 ,即整理得 . 合作探究 17 问题2: 如图所示,设是线段上不同于, 的点,且满足 ,如何求点 的坐标? 合作探究 18 [答案] 设,,则 , 即 当时, 则点的坐标为 . 特别地,①当时,点的坐标为,这就是线段 的中点坐标公式;②若 ,则点在线段 的延长线或其反向延长线上,由向量共线的坐标表示及平行向量 基本定理同样可得点的坐标为 . 合作探究 19 新知生成 . 简记:纵横交错积相减. 合作探究 20 新知运用 一、向量共线的判定与证明 例2 已知点,,,.判断与 是否共线?如果共线,它 们的方向相同还是相反? 方法指导 此类题目应充分利用“若,则 ”或向量共线坐标的条件进 行判断,特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时,要注意坐标之间的搭配. 合作探究 21 [解析] , . (法一),且 , 与 共线且方向相反. (法二),与 共线且方向相反. 合作探究 22 &2& 向量共线的判定方法 合作探究 23 二、已知平面向量共线求参数 例3 已知,,当为何值时,与 平行?平行时它们是同向 还是反向? 方法指导(1)可利用与非零向量共线等价于(,与同向;,与 反向)求解;(2)可先利用坐标形式的等价条件求,再利用 判定同向还是反向. 合作探究 24 [解析] (法一:共线向量定理法) , , 当与平行时,存在唯一实数 ,使 . 由 , 得解得因为 , 所以与 反向. 合作探究 25 (法二:坐标法)由题意知 , . 因为与 平行, 所以 , 解得 . 此时 , 所以当时,与 平行且反向. 合作探究 26 &3& 用