1.4.1 向量的分解及坐标表示课件-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第1章 平面向量及其应用 1.4 向量的分解与坐标表示 1 课时1 向量的分解及坐标表示 2 1.理解平面向量基本定理及其意义.(数学抽象) 2.会用基表示平面向量.(数学抽象、逻辑推理) 3.了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐标表示.(数学抽象、逻辑推理) 合作探究 3 1.如果,是两个不共线的确定向量,那么与,在同一平面内的任一向量 能否 用, 表示?依据是什么? [答案] 能.依据是数乘向量和平行四边形法则. 2.如果,是共线向量,那么向量能否用, 表示?为什么? [答案] 不一定,当与 共线时可以表示,否则不能表示. 合作探究 4 3.零向量能否作为基中的向量?为什么? [答案] 不能,因为零向量与任何向量都是共线的. 4.设单位向量,的夹角, ,非零向量的模,且, ,则 在{, }下的坐标是什么? [答案] . 合作探究 5 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“ ”) (1)平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基.( ) (2) 可以作为基.( ) (3)平面向量基本定理中基的选取是唯一的.( ) (4)若,是同一平面内两个不共线向量,则(, 为实数)可以表 示该平面内所有向量.( ) √ 合作探究 6 2.设, 是同一平面内的两个向量,则( ) . D A., 一定平行 B., 是该平面的一个基 C.对该平面内的任一向量,都有 D.若,不共线,则对该平面内的任一向量,都有 [解析] D选项符合平面向量基本定理,其他三个选项均不正确. 合作探究 7 3.(多选题)设是平行四边形 两条对角线的交点,下列向量组中可作为该平面 其他向量基的是( ) . AC A.与 B.与 C.与 D.与 [解析] 基中的向量不共线,故A,C正确. 合作探究 8 4.已知向量,不共线,实数,满足 ,则 的值为_. 3 [解析] ,不共线, 由平面向量基本定理可得故 . 合作探究 9 探究1 平面向量基本定理 如图(1),设,是同一平面内两个不共线的向量,是这一平面内与, 都不共线的向量,如图(2),在平面内任取一点,作,, . (1) (2) 合作探究 10 问题1: 上图中将按, 的方向分解,你有什么发现? [答案] 如图, . 问题2: 若向量与或共线,还能用 表示吗? [答案] 能,当向量与共线时, ; 当向量与共线时, . 合作探究 11 问题3: 当是零向量时,还能用 表示吗? [答案] 能, . 问题4: 设,是同一平面内两个不共线的向量,在中,, 是否唯一? [答案] 假设,则 , 即, 所以,且,即 ,且,所以, 唯一. 合作探究 12 新知生成 1.平面向量基本定理:设,是平面上两个不共线向量,则(1)平面上每个向量 都可以分解为,的实数倍之和,即,其中, 是实数. (2)实数,由唯一决定,也就是若 ,则 , . 2.基与坐标:我们称不共线向量,组成平面上的一组基{, ,分解式 中的系数,组成的有序数组,称为 在这组基下的坐标. 合作探究 13 新知运用 一、对基的理解 例1 (多选题)设, 是平面内所有向量的一组基,则下列四组向量中,能作为 基的是( ) . ACD A.和 B.和 C.和 D.和 [解析] 选项B中,,与共线, 不能 作为基; 选项A,C,D中两向量均不共线,可以作为基. 合作探究 14 &1& 考查两个向量是否能构成基,主要看两向量是否不共线.此外,一个平面的 基一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以由这个基唯一线性表示出来. 合作探究 15 若向量,不共线,则,,试判断{, }能否作为基. [解析] 设存在实数 ,使 , 则,即 , 因为向量,不共线,所以,这样的 是不存在的, 所以,不共线,故{, }能作为基. 合作探究 16 二、用基表示向量 例2 如图所示,在中,是的中点,且,与相交于点 ,设 ,,求在基{, }下的坐标. 方法指导 用基表示平面向量,首先要充分利用向量加减法的三角形法则和平行四边形法则,然后根据坐标定义求解. 合作探究 17 [解析] 易得, , 由,,三点共线知存在实数 , 满足 . 由,,三点共线知存在实数 , 满足 , 所以 , 因为{,}为基,所以解得 所以,在基{,}下的坐标为 . 合作探究 18 &2& 将两个不共线的向量作为基表示其他向量,基本方法有两种:一种是运用 向量的线性运算法则对所求向量不断进行转化,直至能用基表示为止;另一种是通过 列向量方程或方程组的形式,利用基表示向量的唯一性求解. 合作探究 19 如图所示,在中,,分别为,边上的中点, 与 交于点,若,,求,在基{, }下的坐标. 合作探究 20 [解析] 因为 , 所以在基{,}下的坐标为 . 因为 , 所以在基{,}下的坐标为 . 合作探究 21 探究2 平