第4章计数原理 章末小结 课件-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

第4章 计数原理 第4章章末小结 1 知识导图 2 &1& 两个计数原理的应用 例1 在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”平面模型如图所 示，图中正方形 内部为“赵爽弦图”（由四个全等的直角三角 形和一个小正方形组成）， ， ， ， 这4 个三角形和“赵爽弦图” 涂色，且相邻区域（即图中有公共点 的区域）不同色，已知有4种不同的颜色可供选择,则不同的涂色方法 种数是( ). C A.48 B.54 C.72 D.108 题型探究 3 方法指导 设这五个区分别为①，②，③，④，⑤区，由分步乘法计数原理分步为每一个区进行涂色，当给④区涂色时，分为④区与②区同色和④区与②区不同色这两个情况，讨论即可得出答案. 4 . [解析] &2& 如图，设“赵爽弦图” 为①区， ， ， ， 这4个三角形分别为②，③，④，⑤区. 第一步，给①区涂色，有4种涂色方法. 第二步，给②区涂色，有3种涂色方法. 5 第三步，给③区涂色，有2种涂色方法. 第四步，给④区涂色，若④区与②区同色，则⑤区有2种涂色方法. 若④区与②区不同色，则④区有1种涂色方法，⑤区有1种涂色方法. 由分类、分步计数原理可得共有 （种）涂色方法，故选C. 小结（1）应用分类加法计数原理，要明确分类的标准，做到不重不漏，每一类中的每一种方法都能独立地“完成这件事情”；（2）应用分步乘法计数原理，应准确理解“分步”的含义，完成这件事，需要分成若干步骤，只有每个步骤都完成了，这件事情才能完成.求解过程渗透了数学运算、直观想象的核心素养. 7 &3& 排列组合应用题 例2（1） （2022年新高考全国Ⅱ卷）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文 艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有( ). B A.12种 B.24种 C.36种 D.48种 [解析] 因为丙和丁要在一起，先把丙和丁捆绑，看成一个元素，连同乙、戊看成三个 元素排列，有 种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间 两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙和丁两人的顺序可交换，有2 种排列方式，故安排这5名同学共有 （种）不同的排列方式，故选B. 8 （2）（2020年新高考全国Ⅱ卷）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学 只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法 共有( ). C A.120种 B.90种 C.60种 D.30种 [解析] 首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有 ， 然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有 ， 最后剩下的3名同学去丙场馆，故不同的安排方法共有 （种）.故 选C. 9 小结 将具体问题抽象为排列问题或组合问题，是解排列、组合应用题的关键一步. （1）正确分类或分步，恰当选择两个计数原理.（2）有限制条件的排列组合问题应优先考虑“受限元素”或“受限位置”.而排列组合讨论的问题的共同点是“元素不相同”，不同点是排列与顺序有关，组合与顺序无关.本题渗透了数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养. 10 &4& 二项式定理的应用 例3 在二项式 的展开式中. （1）若展开式后三项的二项式系数的和等于67，求展开式中二项式系数最大的项； [解析] 由已知得 ， 整理得 ，即 ，显然 （负值舍去）， 则展开式中二项式系数最大的项为第6项和第7项， ， . 11 （2）若 为满足 的整数，且展开式中有常数项，试求 的值和常数项. [解析] 设第 项为常数项， 为整数， ，则有 ，即 ， 所以 ，即 ，可得 或 ， 当 时， ；当 时， （不符合题意，舍去），所以 ， 常数项为 . 12 方法指导 （1）根据条件求出 的值，然后判断第几项的二项式系数最大，并求之；（2）常数项说明 的指数为0，根据这一特点，利用项数 与第几项 的关系求解出 的值. 小结 二项式定理的问题类型及解答策略：（1）确定二项展开式中的指定项或指定项系数：先写出其通项公式，建立方程，确定项数，然后代入通项公式求解.（2）求二项展开式中各项系数的和与差：赋值代入.（3）确定二项展开式中的系数最大或最小项：利用二项式系数的性质，渗透了数学运算的核心素养. 13 &5&