第3章圆锥曲线与方程 章末小结 课件-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

第3章 圆锥曲线与方程 第3章章末小结 1 知识导图 2 &1& 圆锥曲线的定义及应用 例1（1） （2022年全国乙卷）设 为抛物线 的焦点，点 在 上，点 ，若 ，则 ( ). B A.2 B. C.3 D. [解析] 由题意得 ，则 ， 即点 到准线 的距离为2，所以点 的横坐标为 . 不妨设点 在 轴上方，代入得 ， 所以 .故选 B. 题型探究 3 （2）（2021年全国甲卷）已知 ， 是双曲线 的两个焦点， 为 上一点，且 ， ，则 的离心率为( ). A A. B. C. D. [解析] 因为 ，由双曲线的定义可得 ， 所以 ， . 因为 ，由余弦定理可得 ， 整理可得 ，所以 ，即 . 故选A. 4 小结 涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决.运用定义解题时应注意圆锥曲线定义中的限制条件.本题渗透了数学运算、逻辑推理的素养. 5 &2& 圆锥曲线的方程 例2 （2021年北京卷）双曲线 的离心率为2，过点 ，则该双曲 线的标准方程为( ). B A. B. C. D. 6 [解析] ， ， ，则双曲线 的方程为 ， 将点 的坐标代入双曲线 的方程可得 ，解得 ，故 ， 因此，双曲线 的方程为 .故选B. 7 小结 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.本题考查了数学运算的素养. 8 &3& 圆锥曲线的几何性质 例3（1） （2022年新高考全国Ⅰ卷）（多选题）已知 为坐标原点，点 在抛 物线 上，过点 的直线交 于 ， 两点，则( ). BCD A. 的准线方程为 B.直线 与 相切 C. D. 9 [解析] 点 在抛物线 上， ，得 ， 抛物线 的方程为 , 准线方程为 ，故A不正确. 直线 的方程为 ，联立 得 ， ， 直线 与抛物线 相切，故B正确. 设直线 的方程为 ， ， . 联立 得 , ，得 , ， . 10 .又 ， ，故C正确. , ， ，故D正确. （2）（2022年新高考全国Ⅰ卷）已知椭圆 ， 的上顶点 为 ，两个焦点为 ， ，离心率为 .过 且垂直于 的直线与 交于 ， 两 点， ，则 的周长是____. 13 12 [解析] 根据离心率得 , ,所以 是等边三角形，点 与点 关于 直线 对称，所以 的周长等于 的周长，根据椭圆的定义知，该周长 为 . 不妨设 是左焦点，则直线 的方程是 ，设点 , ， 将直线 的方程代入椭圆的方程 ，消去 ,化简并整理得 ,所以 ， ， 所以 ，解得 . 所以 的周长为 . 13 小结 应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合、方程思想等结合运用.本题考查了数学运算、直观想象以及逻辑推理的素养. 14 &4& 直线与圆锥曲线的位置关系 例4 （2021年新高考全国Ⅱ卷）已知椭圆 的方程为 ，右焦点 为 ，且离心率为 . （1）求椭圆 的方程. [解析] 由题意得， ， ，所以 ， ，所以椭 圆 的方程为 . 15 （2）设 ， 是椭圆 上的两点，直线 与曲线 相切.证明： ， ， 三点共线的充要条件是 . [解析] 由（1）得，曲线方程为 ， 当直线 的斜率不存在时，直线 ，不合题意. 当直线 的斜率存在时，设 ， ， 16 必要性： 若 ， ， 三点共线，可设直线 ，即 ， 由直线 与曲线 相切可得 ，解得 ， 联立 可得 ，所以 ， ， 所以 ，所以必要性成立. 17 充分性： 设直线 ，即 ， 由直线 与曲线 相切可得 ，所以 ， 联立 可得 ， 所以 ， ， 18 所以 ，化简得 ，所以 ， 所以 或 故直线 或 ， 可知直线 过点 ，所以 ， ， 三点共线，充分性成立. 因此 ， ， 三点共线的充要条件是 .