4.4 课时2 二项式系数的性质 课件-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

第4章 计数原理 4.4 二项式定理 1 课时2 二项式系数的性质 2 1.了解杨辉三角.（逻辑推理） 2.掌握二项式系数的性质.（逻辑推理、数学运算） 3.会用赋值法求项（二项式）的系数和.（数学运算） 学习目标 3 1.在 的展开式中，二项式系数的最大项是第几项？最大值是多少？在 的展开式中，二项式系数的最大值是多少？ [答案] 在 和 的二项展开式中，都含有2023项，中间一项的二 项式系数最大，即第1012项的二项式系数最大，最大值是 . 2.若 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则 为何值？ [答案] 由二项式系数的性质可知，第5项为二项展开式的中间项，即二项展开式共有9 项，故 . 自主预习 4 3. 的展开式的各个二项式系数的和与 ， 的取值有关系吗？ [答案] 的展开式的各个二项式系数的和与 ， 的值无关， 其和为 . 5 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）二项展开式中系数最大的项与二项式系数最大的项是相同的.( ) × （2）二项展开式的二项式系数和为 .( ) × （3）在 的展开式中，当 为偶数时，二项展开式中中间一项的系数最大.( ) × （4）在 的展开式中，二项式系数具有对称性，所以 .( ) × 6 2. 的展开式中二项式系数最大的项是( ). C A. B. C. 和 D. 和 [解析] 展开式的通项公式为 ， 因为 展开式共有8项，所以第4项和第5项的二项式系数最大， 所以 展开式中二项式系数最大的项为 和 ，即 和 .故选C． 7 3.在 的二项展开式中，若只有 的系数最大，则 ____. 10 [解析] 由题意知， 的展开式中， 的系数就是第6项的二项式系数，因为只有它是二项式系数中最大的，所以 . 8 4.若 的展开式中常数项为 ，则展开式中各项系数之和为___. 1 [解析] 由 ，只有当 时展开式中才存在 常数项，从而得 ，求得 ，令 ，则各项系数之和为1. 9 探究1 杨辉三角 下图是历史上的杨辉三角. 合作探究 10 问题1： 各行的数字有什么关系？ [答案] 每一行中的系数具有对称性. 问题2： 第1，2，3，4，5，6行的数字之和各是多少？由此你能猜出第 行的数字之和吗？ [答案] 第1，2，3，4，5，6行的数字之和分别是 ， ， ， ， ， ，故第 行的数字之和应为 . 11 问题3： 第2行的数字2与第1行的各个数字之间有什么关系？ 第3行的数字3与第2行的数字之间有什么关系？ 第4行的数字4，6与第3行的数字之间有什么关系？ 第5行的数字5，10与第4行的数字之间有什么关系？ 第6行的数字6，15，20与第5行的数字之间有什么关系？ 由此你能得出什么结论？ [答案] ， ， ， ， ， ， ， ， .结论:相邻两行中，除1外的每一个数都等于 它“肩上”两个数的和. 12 问题4： 试写出第 行、第 行的数字，并探讨 与 , 之间有什么关系? [答案] 第 行 1 … … 1 第 行 关系: . 问题5： 杨辉三角有什么作用？ [答案] 利用杨辉三角可以直观看出二项式系数的性质，当二项式的次数不大时，可借助它直接写出各项的二项式系数. 13 新知生成 杨辉三角的特点 （1）在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等. （2）在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数的和，即 . 14 新知运用 例1 杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载.如 图所示，在杨辉三角中，第15行第15个数是____.（用数字作答） 15 15 [解析] 由杨辉三角知, 第0行：1， 第1行： ， ， 第2行： ， ， ， 第3行： ， ， ， ， 第4行： ， ， ， ， ， 由此可得第 行，第 个数为 ， 所以第15行第15个数是 ． 16 &1& 解决与杨辉三角有关问题的一般思路:（1）观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察.（2）找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数据的规律. 17 将杨辉三角中的奇数全部换成1，偶数全部换成0，得到如图所示 的三角数表.从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次 全行的数都为1的是第