4.4 课时1 二项式定理 课件-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

第4章 计数原理 4.4 二项式定理 1 课时1 二项式定理 2 1.能用两种计数原理证明二项式定理.（逻辑推理） 2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式.（数学抽象） 3.能解决与二项展开式有关的简单问题.（数学运算） 学习目标 3 1.你能写出 的二项展开式吗？二项展开式中的字母 ， 能交换位置吗？ [答案] （1） . （2）二项展开式中的字母 ， 是不能交换位置的.虽然 与 的结果相 同，但 与 的展开式是有区别的，即二者的展开式中的项的排列顺序 是不同的，不能混淆，如 的展开式中第2项是 ，而 的展开式中 第2项是 ，故两者是不同的. 自主预习 4 2. 的二项展开式是什么？其第5项的二项式系数和第5项的系数各是什么？ [答案] .其第5项的二项式 系数为 ，第5项的系数为 . 3.在二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？ [答案] 二项式系数 与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，而项的系数与二项式、二项式的指数及项数均有关. 5 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 展开式中共有 项.( ) × （2）二项式 与 展开式中第 项相同.( ) × （3） 是 展开式中的第 项.( ) × （4）在 的展开式中各项的系数与其二项式系数均相等.( ) × 6 2.若 的展开式共有11项，则 ( ). B A.9 B.10 C.11 D.8 [解析] 因为 的展开式共有 项，而 的展开式共有11项， 所以 . 7 3.将 展开后有____个不同的项. 12 [解析] 由题意知，共有 （个）不同的项. 8 4.求 的展开式. [解析] 根据二项式定理可知 . 9 探究1 二项式定理 问题1： 在初中，我们用多项式乘法法则得到了 的展开式： . 如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程？ 合作探究 10 [答案] 从上述过程可以看到， 是2个 相乘，根据多项式乘法法则，每个 在相乘时有两种选择，选 或选 ，而且每个 中的 或 都选定后，才能得到展开式的一项.于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前， 的展开式共有 项，而且每一项都是 的形式. 11 问题2： 在合并同类项之前， 的展开式为 ，每项都是 的形式，你能从组合的观点解释合并同类项后 的系数特点吗？ 12 [答案] 当 时， ，是由2个 中都不选 得到的，相当于从2个 中取0个 （即都取 ）的组合数 ，因此 只有1个； 当 时， ，是由一个 中选 ，另一个 中选 得到 的，由于 选定后， 的选法也随之确定，因此， 出现的次数相当于从2个 中取1个 的组合数 ，即 共有2个； 当 时， ，是由2个 中都选 得到的，相当于从2个 中取2个 的组合数 ，因此 只有1个. 由上述分析可以得到 . 13 问题3： 仿照上述过程，你认为 ， ， 的展开式是什么？ [答案] ； ； . 14 新知生成 二项式定理 公式 叫作二项式定理.等号右边的多项式叫作 的二项展开式，一共有 项，其中各项的系数 （其中 , , ）叫作二项式系数. 15 新知运用 例1（1） 求 的展开式. [解析] （法一） . （法二） . 16 （2）化简： . [解析] 原式 . 17 方法指导 （1）解答本题先将 看成 ， 看成 ，利用二项式定理展开， 也可以先将 化简后再展开.（2）可先把 看成一个整体，分析其结构 形式，逆用二项式定理求解. 18 &1& 二项式定理的双向应用：（1）正用：将二项式 展开，得到一个多项式，即二项式定理从左到右使用是展开.对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展开.（2）逆用：将展开式合并成二项式 的形式，即二项式定理从右到左使用是合并.对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律. 19 1. 的值为( ). C A.1 B. C. D. [解析] 20 2.求 的展开式. [解析] . 21 探究2 二项展开式的通项 问题1： 在 的二项展开式中，第 项是什么？ [答案] . 问题2： 在 的二项展开式中， 是二项展开式的第几项？其 二项式系数是什么？ [答案] 是第 项，其二项式