4.3 课时1 组合与组合数公式 课件-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

第4章 计数原理 4.3 组合 1 课时1 组合与组合数公式 2 1.理解并掌握组合与组合数的概念，掌握组合与排列之间的联系与区别.（数学抽象） 2.会推导组合数公式，并会应用公式进行求值.（数学运算） 3.理解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明.（逻辑推理、数学运算） 学习目标 3 1.从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？这一问题与“从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另外1名同学参加下午的活动”有什么区别和联系？ [答案] 共有3种方法.由于“甲上午、乙下午”与“乙上午、甲下午”是两种不同的选法，因此解决后面的问题时，不仅要从3名同学中选出2名，而且还要将他们按照“上午在前，下午在后”的顺序排列，这是上一节研究的排列问题.本问题要研究的问题只是从3名同学中选出2名去参加一项活动，而不需要排列他们的顺序. 自主预习 4 2.你能说说排列与组合之间的区别和联系吗？ [答案] 从排列与组合的定义可以知道，两者都是从 个不同元素中取出 个元素，这是排列、组合的共同点；它们的不同点是：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关.只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的；只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合. 5 3.我们知道，“排列”与“排列数”是两个不同的概念，那么“组合”与“组合数”是同一个概念吗？为什么？ [答案] “组合”与“组合数”是两个不同的概念，“组合”是指“从 个不同元素中取出 个元素合成一组”，它不是一个数，而是指具体的一件事；“组合数”是指“从 个不同元素中取出 个元素的所有不同组合的个数”，它是一个具体的数值. 6 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）从 ， ， 三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是 .( ) × （2）从1，3，5，7中任取两个数相乘可得 个积.( ) √ （3）1，2，3与3，2，1是同一个组合.( ) √ （4） .( ) × 7 2. 的值为( ). C A.6 B.101 C. D. [解析] 原式 . 8 3.在报名的3名男教师和3名女教师中，选取3人参加义务献血，要求男、女教师都有， 则不同的选取方法种数为____.（结果用数值表示） 18 [解析] 选取方式有：选2名男教师1名女教师或选2名女教师1名男教师，则不同的选取方法有 （种）. 9 4.求不等式 的解集. [解析] 由 ，得 ，即 ，解得 . 由题设条件知 ，且 ， 所以 ，3，4.故原不等式的解集为 . 10 探究1 组合的概念 “校园歌手大赛”是某校的特色文化活动之一，它为同学们紧张、忙碌的学习生活提供了休闲、放松的平台，同时也给同学们出了一道数学题.比较下列两个问题并发现它们之间的关系. 合作探究 11 问题1： 高二（1）班有3名同学想参加比赛，但是学校只给了每个班2个名额，且其中1名参加流行组，1名参加民歌组，共有几种不同的报名结果？ [答案] 有 （种）. 12 问题2： 高二（1）班有3名同学想参加比赛，但是学校只给了每个班2个名额，共有几种不同的报名结果？ [答案] 由列举法可知有3种. 问题3： 上述两个问题的区别是什么？ [答案] 问题1是排列问题，有顺序，问题2是无顺序问题，是我们要学习的组合问题. 13 新知生成 1.组合：一般地，从 个不同元素中取出 个不同的元素，不论次序地构成一 组，叫作从 个不同元素中取出 个元素的一个组合. 2.相同组合：当且仅当这两个组合的元素完全相同. 3.排列与组合的区别 排列需要考虑元素的顺序，组合不需要考虑元素的顺序. 14 新知运用 例1 判断下列问题是排列问题，还是组合问题. （1）10个人相互写一封信，共写出了多少封信？ [解析] 是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的. （2）10个人相互通一次电话，共通了多少次电话？ [解析] 是组合问题，因为甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，没有顺序的区别. 15 （3）10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），这次比赛需要进行多少场次？ [解析] 是组合问题，因为每两支球队比赛一次，没有顺序的区别. （4）从10个人中选出3人担任不同学科的科代表，有多少种选法？ [解析] 是排列问题，因为3个人担任哪一科的科代表是有顺序区别的. 16 方法指导 区分排列与组合的方法是看事件是否有顺序，而区分事件有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，若对结果产生影响，即说明有顺序，是排列问题；若对结果没有影响，即说明无顺序，是组合问题.