3.1.2 课时1 椭圆的简单几何性质课件-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

第3章 圆锥曲线与方程 3.1 椭圆 1 3.1.2 椭圆的简单几何性质 课时1 椭圆的简单几何性质 2 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.（直观想象） 2.能运用椭圆的简单几何性质求椭圆的标准方程.（数学运算） 3.了解椭圆的离心率对椭圆的扁平程度的影响.（逻辑推理） 学习目标 3 1.我们前面学过的椭圆是怎样定义的？椭圆的标准方程怎么表示？ [答案] 把平面内到两个定点 , 的距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫 作椭圆． 当椭圆的焦点在 轴上时，椭圆的标准方程是 ； 当椭圆的焦点在 轴上时，椭圆的标准方程是 ． 自主预习 4 2.椭圆 中 ， 的取值范围各是什么？ [答案] ， ． 3.椭圆 的对称轴和对称中心各是什么？ [答案] 对称轴为 轴和 轴，对称中心为坐标原点 ． 4.椭圆 与坐标轴的交点坐标是什么？ [答案] 与 轴的交点坐标为 ，与 轴的交点坐标为 ． 5.椭圆的离心率怎么表示？其取值范围是什么？ [答案] 离心率 ； ． 5 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）椭圆的顶点是椭圆与它的对称轴的交点.( ) √ （2）椭圆上的点到焦点的距离的最大值为 .( ) √ （3）椭圆的离心率 越接近于1，椭圆越圆.( ) × （4）椭圆 的长轴长等于 .( ) × 6 2.焦点在 轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程 是( ). A A. B. C. D. [解析] 依题意，得 ， ，故 ， ，故所求椭圆的标准方程是 ． 7 3.若椭圆短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( ). A A. B. C. D. [解析] 由题意知 ， ． 8 4.若椭圆 的离心率为 ，两焦点分别为 ， ， 为椭圆上一 点，且 的周长为16，则椭圆 的标准方程为_ __________． <m></m> [解析] ， ． 设 ，则 ， ． 又 的周长为 ， ， ， ， ． 椭圆 的标准方程为 ． 9 探究1 椭圆的范围、对称性、顶点 问题1： 如何求椭圆方程 中 , 的取值范围呢？ [答案] 由椭圆方程 ，可知 ，所以椭圆上的点的 横坐标都适合不等式 ，即 .同理, ，即 ． 合作探究 10 问题2： 若椭圆方程为 ，你能比较准确地画出它的图形吗？ [答案] 能.根据椭圆 中 , 的取值 范围 且 ，容易看出椭圆上的点都 在一个特定的矩形框内，因此，可以较为准确地画出椭圆 的大致图形，如图所示. 11 问题3： 关于 轴、 轴及原点的对称点的特征是什么？如何利用方程说明椭圆的对称性？ [答案] 点 关于 轴的对称点为 ，关于 轴的对称点为 ，关 于原点的对称点为 .以 代替 后，方程不变，说明当点 在椭圆上 时，它关于 轴的对称点 也在椭圆上，所以椭圆关于 轴对称.同理，椭圆也 关于 轴对称.以 代替 ， 代替 ，方程不变，说明当点 在椭圆上时，它 关于原点的对称点 也在椭圆上，所以椭圆关于原点对称． 12 问题4： 椭圆 上的哪些点比较特殊？如何得到这些点的坐标？ [答案] 与坐标轴的交点比较特殊，在椭圆 中，令 ，得 ，因此点 ， 是椭圆与 轴的两个交点；同理，令 ,得 ，因此点 ， 是椭圆与 轴的两个交点． 13 新知生成 椭圆的简单几何性质 焦点在 轴上 焦点在 轴上 图形 标准 方程 _ __________ 范围 ________________________ ________________________ 对称性 对称轴为________，对称中心为______ <m></m> <m></m> 且 <m></m> <m></m> 且 <m></m> 坐标轴 原点 14 焦点在 轴上 焦点在 轴上 顶点 ______________________________ __________ ______________________________ __________ 轴长 短轴长 ____，长轴长 ____ 焦点 __________________ __________________ 焦距 ____ <m></m> ， <m></m> ， <m>，</m> <m></m> <m></m> ， <m></m> ， <m>，</m> <m></m> <m></m> <