第3章概率章末小结 学案-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

第3章章末小结 【知识导图】 【题型探究】 题型1 条件概率 例1　(2022年新高考全国Ⅰ卷节选)一医疗团队为了研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据: 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 　　从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件“选到的人患有该疾病”.与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R. (1)证明:R=·. (2)利用该调查数据,给出P(A|B),P(A|)的估计值,并利用(1)的结果给出R的估计值. 小结　求条件概率的主要方法: (1)利用条件概率公式P(B|A)=; (2)针对古典概型,可通过缩减基本事件总数求解. 本题渗透了逻辑推理、数学运算的核心素养. 题型2 独立事件的概率 例2　(2021年新高考全国Ⅰ卷)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则(　　). A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 小结　事件A,B之间独立性的判定方法 (1)定义法:P(AB)=P(A)P(B). (2)借助条件概率:P(B|A)=P(B)或P(A|B)=P(A). (3)直接法:看事件A发生对事件B有无影响. 题型3 乘法公式与全概率公式 例3　已知甲袋中有3个白球,2个黑球;乙袋中有4个白球,4个黑球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋,然后从乙袋中任取一球,求此球为白球的概率. 小结　本题考查利用全概率公式计算事件的概率,解题的关键在于确定从甲袋取出的2个球中白球的个数,结合全概率公式进行计算,本题渗透了数据分析以及数学运算的素养. 题型4 二项分布与超几何分布的区别与联系 例4　某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本测出它们的质量(单位:克),质量的分组区间为(490,495],(495,500],…,(510,515].由此得到如下的样本频率分布直方图. 　　 (1)根据频率分布直方图,求质量超过505克的产品数量; (2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设X为质量超过505克的产品数量,求X的分布列; (3)从该流水线上任取2件产品,设Y为质量超过505克的产品数量,求Y的分布列. 小结　学生对“超几何分布与二项分布”这两种模型的定义不能很好地理解,一遇到“取”或“摸”的题型,就认为是超几何分布,不加分析,滥用公式,运算对象不明晰,事实上,超几何分布和二项分布确实有着密切的联系,但也有明显的区别. 超几何分布的抽取是不放回的抽取,各次抽取不独立;二项分布的抽取是有放回的抽取,各次抽取相互独立.当超几何分布所对应的总体数量很大时可以近似地看作二项分布. 题型5 离散型随机变量的均值与方差 例5　(2022年全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立. (1)求甲学校获得冠军的概率; (2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望. 小结　求离散型随机变量的均值、方差的步骤:(1)明确随机变量的取值,以及取每个值的试验结果;(2)求出随机变量取各个值的概率;(3)列出分布列;(4)利用期望、方差公式求解.本题渗透了数据分析、数学运算的素养. 题型6 正态分布 例6　(2022年新高考全国Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(2<X≤2.5)=0.36,则P(X>2.5)=　　　　.  小结　正态分布的概率通常有以下两种求法:(1)注意“3σ原则”的应用.记住正态总体在三个区间内取值的概率.(2)注意数形结合.由于正态分布密度曲线具有对称性,体现了数形结合的重要思想,因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题. 【拓展延伸】 　　一、高尔顿简介 弗朗西斯·高尔顿(Francis Galton, 1822—1911)是英国著名的统计学家、心理学家和遗传学家.他是达尔文的表弟,虽然不像达尔文那样声名显赫,但也不是无名之辈.并且,高尔顿幼年是神童,长大是才子,九十年的人生丰富多彩,是个名