第2章空间向量与立体几何章末小结学案-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

第2章章末小结 【知识导图】 【题型探究】 题型1 空间向量的线性运算 例1　如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长和侧棱长都等于1,∠BAA1=∠CAA1=60°. (1)设=a,=b,=c,用向量a,b,c表示,并求出BC1的长度; (2)求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值. 小结　在几何体中,根据图形的特点,选择公共起点最集中的向量中的三个不共面的向量作为一组基,或选择有公共起点且关系最明确的三个不共面的向量作为一组基,这样更利于解题. 题型2 空间向量的坐标运算 例2　(2021年新高考全国Ⅰ卷)(多选题)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=1,点P满足=λ+μ,其中λ∈[0,1],μ∈[0,1],则(　　). A.当λ=1时,△AB1P的周长为定值 B.当μ=1时,三棱锥P-A1BC的体积为定值 C.当λ=时,有且仅有一个点P,使得A1P⊥BP D.当μ=时,有且仅有一个点P,使得A1B⊥平面AB1P 小结　熟记空间向量的坐标运算公式是解题的关键.在利用坐标运算公式时,注意先对向量式子进行化简再运算.综合考查了学生的直观想象、逻辑推理以及数学运算的核心素养. 题型3 利用空间向量解决平行、垂直问题 例3　(2022年全国乙卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则(　　). A.平面B1EF⊥平面BDD1 B.平面B1EF⊥平面A1BD C.平面B1EF∥平面A1AC D.平面B1EF∥平面A1C1D 小结　用向量法证明立体几何中的平行或垂直问题,主要应用直线的方向向量和平面的法向量,同时也要借助空间中已有的一些关于平行或垂直的定理.解题过程渗透了逻辑推理、直观想象以及数学运算的核心素养. 题型4 利用空间向量求距离 例4　如图所示,在底面为直角梯形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,E,F分别为SA,SC的中点.AB=BC=2,AD=1,SB与底面ABCD成60°角. (1)求异面直线EF与CD所成角的余弦值; (2)求点D到平面SBC的距离. 方法指导　(1)先确定SB与底面ABCD所成的角,计算SA,再建立空间直角坐标系,利用向量数量积求异面直线EF与CD所成角的余弦值;(2)先求平面SBC的一个法向量,再利用向量投影求点D到平面SBC的距离. 小结　(1)求点到平面的距离,常常利用向量法,转化为平面外一点与平面内一点构成的向量在平面的法向量上的投影向量的长度. (2)求直线到平面的距离,往往转化为点到平面的距离求解,且这个点要适当选取,以易于求解为准则. 题型5 利用空间向量求线面角 例5　(2022年全国甲卷)在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=. (1)证明:BD⊥PA. (2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值. 小结　利用空间向量求线面角的解题模型 题型6 利用空间向量求平面与平面所成的角 例6　(2023年新高考全国Ⅱ卷)如图,在三棱锥A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E为BC的中点. (1)证明:BC⊥DA. (2)若点F满足=,求二面角D-AB-F的正弦值. 小结　利用空间向量求平面与平面所成角的解题模型 题型7 利用空间向量解决探究性问题 例7　(2021年全国甲卷)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC,CC1的中点,D为棱A1B1上的点,BF⊥A1B1. (1)证明:BF⊥DE. (2)当B1D为何值时,平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小? 小结　解决存在性问题的基本策略 通常假设题中的数学对象存在(或结论成立),然后在这个前提下进行逻辑推理,若能推导出与条件吻合的数据或事实,说明假设成立,即存在,并可进一步证明;若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论,则说明假设不成立,即不存在.本题第二问中通过余弦值的绝对值最大,找到正弦值最小是关键一步. 【拓展延伸】 空间向量的发展及应用 向量是高中数学新课程中的重要内容,早在19世纪就已成为数学家和物理学家研究的对象.20世纪初被引入中学数学.我国在1996年高中数学大纲中引入了向量.大约公元350年前,古希腊著名学者亚里士多德(Aristotle,公元前384~公元前322)就知道了力可以表示成向量,他在《力学》一书中记载了“速度”的平行四边形法则,3个世纪以后又被海伦证明.“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿. 从数学发展史来看,历史上很长一段时间,空间向量的结构并未被数学家们所认识,直到1