4.2 课时1 回归直线方程学案-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

4.2 课时1 回归直线方程 【学习目标】 1.了解最小二乘法的思想及意义.(数学抽象) 2.会根据给出的回归方程的系数公式求一元线性回归方程.(数学运算、数据分析) 【自主预习】 1.什么是回归分析? 2.求回归直线方程的主要方法是什么? 3.任何一组数据都可以由最小二乘法得出回归方程吗? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)对于任意给定的两个变量的统计数据,都可以作出散点图. (　　) (2)线性回归方程最能代表观测值x,y之间的线性关系,且回归直线过样本中心(,). (　　) (3)利用线性回归方程求出的值是准确值. (　　) (4)若回归系数是负的,则y的值随x的增大而减小. (　　) 2.变量y对x的回归方程的意义是(　　). A.表示y与x之间的函数关系 B.表示y与x之间的线性关系 C.反映y与x之间的真实关系 D.反映y与x之间的真实关系达到最大限度的吻合 3.设有一个线性回归方程为y=-1.5x+2,则变量x每增加1个单位,(　　). A.y平均增加1.5个单位 B.y平均增加2个单位 C.y平均减少1.5个单位 D.y平均减少2个单位 4.某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据: 产量x/千件 2 3 5 6 成本y/万元 7 8 9 12 由表中数据得到的线性回归方程=x+中=1.1,则预测当产量为9千件时,成本约为　　　　万元.  【合作探究】 探究1　回归直线方程 问题1:在一元线性回归模型中,变量y由变量x唯一确定吗? 问题2:在一元线性回归模型yi=+xi+ei中,随机误差ei产生的主要原因有哪些? 问题3:回归分析中,利用线性回归方程求出的函数值一定是真实值吗?为什么? 新知生成 1.回归直线、回归直线方程 找出与散点图中各点散布趋势相似的直线,使各点经过或充分靠近该直线,这样所得到的直线叫作回归直线,这条直线的方程叫作回归直线方程. 2.回归分析 由散点图求出回归直线并进行统计推断的过程叫作回归分析. 3.一元线性回归方程 在回归分析中,被预测或被解释的变量称为因变量,用y表示.用来预测或解释因变量的变量称为自变量,用x表示.如果具有相关关系的两个变量x,y可用方程y=a+bx来近似刻画,那么称y=a+bx为y关于x的一元线性回归方程,其中a,b称为回归系数. 由于我们是利用样本数据(一组观测值)去估计总体的回归直线方程,得到估计的回归直线方程形式为=+x. 4.一元线性回归模型 我们把yi=+xi+ei(i=1,2,…,n)这一描述因变量y如何依赖于自变量 x和随机误差ei的方程称为一元线性回归模型. 新知运用 例1　某公司为了预测下月的产品销售情况,找出了近7个月的产品销售量y(单位:万件)的统计表: 月份代码t 1 2 3 4 5 6 7 销售量y/万件 y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 　　但其中数据被污损看不清,经查证yi=9.32,tiyi=40.17,=0.55. (1)请用相关系数r说明销售量y与月份代码t之间有很强的线性相关关系(当>0.8时,认为两个变量有很强的线性相关关系); (2)若=0.10t+0.93,公司经营期间的广告宣传费(单位:万元)xi=(i=1,2,…),每件产品的销售价为10元,预测第8个月的毛利润能否突破15万元,并说明理由(毛利润=销售金额-广告宣传费). 参考数据:≈2.65,≈1.41. 【方法总结】　　用线性回归方程估计总体的一般步骤:(1)先判断相关关系,作出散点图判断或利用相关系数判断;(2)根据线性回归方程对总体进行估计. 一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点,每小时生产有缺点的零件的多少随机器运转速度的变化而变化,下表为抽样试验的结果: 转速x/(转/秒) 16 14 12 8 每小时生产有缺点的零件数y/件 11 9 8 5 　　(1)画出散点图; (2)如果y与x有线性相关关系,请画出一条直线近似地表示这种线性关系; (3)在实际生产中,若它们的关系可用方程y=x-来近似刻画,允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多为10件,那么机器的运转速度应控制在什么范围内? 探究2　最小二乘法 问题1:一个好的线性关系与散点图中各点的位置应具有怎样的关系? 问题2:设直线方程为y=a+bx,任意给定一个样本点A(xi,yi),用什么样的方法刻画点与直线的距离更方便有效? 问题3: 线性回归方程是否经过定点? 新知生成 1.最小二乘法 使“随机误差平方和最小”的方法叫作最小二乘法. 2.,的计算公式 ==,=-b.此时,用最小二乘法得到的