2.7 用坐标方法解决几何问题课件-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

第2章 平面解析几何初步 2.7 用坐标方法解决几何问题 1 1.理解并掌握用坐标法解决几何问题的基本过程.（逻辑推理、数学运算） 2.能根据曲线的几何特征求曲线的方程.（直观想象、数学运算） 3.初步掌握求曲线方程的方法，解决一些较为复杂的几何问题.（逻辑推理、数学运算） 学习目标 2 1.什么是坐标法？ [答案] 在平面直角坐标系中，把点用坐标表示，将直线与圆等曲线用方程表示，通过研究方程来研究图形的性质，这种利用代数研究几何的方法被称为坐标法. 2.用“坐标法”解决有关几何问题的基本步骤是什么？ [答案] （1）建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素；（2）进行有关代数运算，求解代数问题； （3）把代数运算结果“翻译”成几何结论. 自主预习 3 3.求轨迹方程的一般步骤是什么？ [答案] （1）建立适当的平面直角坐标系； （2）设动点的坐标为 ； （3）找出限制动点的几何条件； （4）将坐标代入几何关系； （5）化简式子. 4 1.某涵洞的横截面是半径为 的半圆，则该半圆的方程是( ). D A. B. C. D.随建立的平面直角坐标系的变化而变化 [解析] 建立的平面直角坐标系不同，得到的半圆方程也不同. 5 2.当点 在圆 上运动时，它与定点 的连线 的中点的轨迹方程是 ( ). C A. B. C. D. [解析] 设 ， 的中点 的坐标为 ， ， ， ． 又点 在圆 上， ， 中点 的轨迹方程为 .故选C． 6 3.已知等腰三角形 的顶点是 ，底边的一个端点是 ，求另一端点的轨 迹方程. [解析] ， ， . 又 等腰三角形的顶点是 ，底边的另一个端点是 ， ，即点 在以点 为圆心， 为半径的圆上， 可得该圆的方程为 ， 当点 位于点 关于圆心 对称的点处时，坐标为 ，即 ，此时 ， ， 三点共线，不符合题意；当点 和点 重合时也不符合题意. 故另一端点的轨迹方程为 ， 且 , . 7 探究1 用坐标法解决几何问题 如图，在直角 中， ， ， ， 过点 作 的外接圆的切线交线段 的延长线于点 ，则 线段 的长是多少？ 合作探究 8 问题1： 若用坐标法解决上面问题，应怎样建立平面直角坐标系？ [答案] 以 为原点， 所在的直线为 轴， 所在的直线为 轴建立平面直角坐标系比较合适.因为图中恰有这两条直线互相垂直且线段长度已知. 9 问题2： 结合问题1所建立的平面直角坐标系求圆的方程和 的长. [答案] 如图，建立平面直角坐标系，则 ， ， 所以 的中点坐标为 ， ， 所以圆的方程为 ， 所以切线 的方程为 ， 整理得 ， 所以点 的坐标为 ， . 10 新知生成 用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”. 第一步，建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆等，把平面几何问题转化为代数问题. 第二步，通过代数运算，解决代数问题. 第三步,把代数运算结果“翻译”成几何结论. 11 新知运用 例1 如图所示， 是 的直径， 是 的一条弦，且 ， 为垂足.利 用坐标法证明： 是 的中点. 12 [解析] 如图所示，以 为坐标原点，直径 所在的直线为 轴建立平面直角坐标系. 设 的半径为 ， ，则 的方程为 ， 设 ， , 则 ， ， 13 即 ， 是关于 的方程 的两根， 解方程得 ， 不妨设 ， ， 则 的中点坐标为 ，即 . 故 是 的中点，即 是 的中点. &1& 坐标法解题的关键是建立平面直角坐标系，建立坐标系的原则：（1）若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为 轴和 轴；（2）充分利用图形的对称性； （3）让尽可能多的点落在坐标轴上或关于坐标轴对称；（4）关键点的坐标易求得. 15 如图所示，在圆 上任取一点 为圆心，作圆 ,与圆 的直径 相切于点 ，圆 与圆 交于点 ， ，且 与 相交于 .利用 坐标法证明： 平分 . 16 [解析] 以 为坐标原点， 所在的直线为 轴建立平面直角坐标系， 如图所示. 设 ， ，则 ， ， 可得圆 ， . 两方程作差得直线 的方程为 . 令 ，得 ， 则 ， 即 为 的中点，所以 平分 . 17 探究2 求轨迹方程 问题1： 若点 ， ，则到 ， 两点距