2.5.1 圆的标准方程课件-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

第2章 平面解析几何初步 2.5 圆的方程 1 2.5.1 圆的标准方程 2 1.理解圆的定义，体会推导圆的标准方程的过程.（逻辑推理） 2.利用待定系数法、几何性质法求圆的标准方程.（数学运算） 3.结合圆的标准方程，体会判断点与圆的位置关系的两种方法.（直观想象） 学习目标 3 1.圆的定义是什么？ [答案] 平面内到一定点的距离等于定长的所有点的集合叫作圆． 自主预习 4 2.确定圆的基本要素是什么？ [答案] 确定圆的基本要素是圆心和半径，如图所示． 5 3.已知圆的圆心为 ，半径为 ，你能推导出该圆的方程吗？ [答案] 能.设圆上任一点 ，则 ，由两点间的距离公式，得 ，化简可得 ． 4.点与圆的位置关系有几种？ [答案] 在圆内、在圆上、在圆外，共三种． 6 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）方程 一定表示圆.( ) × （2）若圆的标准方程为 ，则此圆的半径一定是 . ( ) × （3）圆 的圆心坐标是 ，半径是4.( ) × （4）若某点正好是圆的圆心，则该点是圆上的点.( ) × 7 2.圆 的圆心和半径分别是( ). D A. ，1 B. ，3 C. ， D. ， [解析] 由圆的标准方程可得圆心为 ，半径为 ． 8 3.以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是____________． <m></m> [解析] 以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为 ． 9 4.已知点 在圆 上，求圆的方程． [解析] 点 在圆 上， ， . 故圆的标准方程为 ． 10 探究1 圆的标准方程 “南昌之星”摩天轮2006年建成时是世界上最高的摩天轮，它位于江西省南昌市红谷滩区红角洲赣江边上的赣江市民公园，是南昌市标志性建筑.该摩天轮总高度为160米，转盘直径为153米． 合作探究 11 问题1： 游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一样吗？ [答案] 一样.圆上的点到圆心的距离都是相等的，都等于圆的半径． 问题2： 若以摩天轮的中心所在位置为原点，建立平面直角坐标系，则游客在任一点 的坐标满足什么关系？ [答案] ． 12 问题3： 以 为圆心，3为半径的圆上任一点的坐标 满足什么关系？ [答案] ． 问题4： 确定圆的标准方程需具备哪些条件？ [答案] 圆的标准方程 中有三个参数，要确定圆的标准方程需要确定这三个参数，其中圆心 是圆的定位条件，半径 是圆的定量条件． 13 新知生成 圆的标准方程 （1）圆的定义：圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有的点组成的集合. （2）圆的基本要素是圆心和半径. （3）圆的标准方程：圆心为 ，半径为 的圆的标准方程是 . 特别提醒：（1）由圆的标准方程来看，要确定圆的标准方程需要三个独立的条件：圆心的横坐标、纵坐标以及圆的半径. （2）当 时，方程为 ，表示以原点 为圆心、 为半径的圆. 14 新知运用 例1 求过点 ， 且圆心在直线 上的圆的方程. 方法指导 （法一）利用待定系数法，设出圆的标准方程，根据条件建立关于参数的方程组求解；（法二）利用圆心在直线上，设出圆心坐标，根据条件建立方程组求圆心坐标和半径，从而求圆的方程；（法三）借助圆的几何性质，确定圆心坐标和半径，从而求出圆的方程. 15 [解析] （法一）设所求圆的标准方程为 ， 由已知条件知 解得 故所求圆的标准方程为 . （法二）设点 为圆心， 点 在直线 上， 可设点 的坐标为 . 16 又 该圆经过 ， 两点， ， ， 解得 ， 圆心坐标为 ，半径 ， 故所求圆的标准方程为 . （法三）由已知可得线段 的中点坐标为 ， ， 弦 的垂直平分线的斜率 ， 的垂直平分线的方程为 ， 即 ,则圆心是直线 与 的交点. 由 得 即圆心为 ，圆的半径为 ， 故所求圆的标准方程为 . &1& 求圆的标准方程的主要方法 （1）几何法：利用圆的几何性质，直接求出圆心和半径，代入圆的标准方程. （2）待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中的三个参数，其步骤为设方程、列式、求解. 19 求满足下列条件的圆的标准方程： （1）圆心是 ，且过点 ； [解析] ， 圆的标准方程为 ． 20 （2）圆心在 轴上，半径为5，且过点 ． [解析] 设圆心为 ，则