3.3 正态分布 学案-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

3.3 正态分布 【学习目标】 1.利用实际问题的直方图,了解正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义.(数学抽象) 2.能借助正态曲线理解正态曲线的性质及意义.(数学抽象、直观想象) 3.会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率.(数学运算、数据分析) 【自主预习】 1.正态曲线的特点是什么? 【答案】　正态曲线的特点是中间高,两边低,左右大致对称. 2.正态曲线p(x)中参数μ,σ的意义是什么? 【答案】　参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本均值E(X)去估计;σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本方差D(X)去估计. 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)正态变量函数表达式中参数μ,σ的意义分别是样本的均值与方差. (　　) (2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量. (　　) (3)正态曲线是一条钟形曲线. (　　) (4)离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述,连续型随机变量的概率分布用分布列描述. (　　) 【答案】　　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2.在某项测量中,测量结果X服从正态分布N(1,σ2)(σ>0).若X在(0,1)内取值的概率为0.4,则X在(0,2)内取值的概率为　　　　.  【答案】　0.8 【解析】　∵X服从正态分布N(1,σ2), ∴X在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同,均为0.4. ∴X在(0,2)内取值的概率为0.4+0.4=0.8. 3.已知随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若P(ξ≤1)=0.8413,求P(-1<ξ≤0). 【解析】　如图所示,因为P(ξ≤1)=0.8413,所以P(ξ>1)=1-0.8413=0.1587,所以P(ξ≤-1)=0.1587,所以P(-1<ξ≤0)=0.5-0.1587=0.3413. 【合作探究】 探究1　正态曲线及特点 　　设x表示某产品的寿命(单位:h).人们对该产品有如下的了解:寿命小于500 h的概率为0.71,寿命在500 h~800 h的概率为0.22,寿命在800 h~1000 h的概率为0.07,由此我们可以画出下图. 问题1:这个图形能告诉我们产品寿命在200 h~400 h的概率是多少吗? 【答案】　不能. 问题2:若将组距缩小,改为下图所示,这样可以了解到更多信息,若将组距无限细分,会是什么形状? 【答案】　 若组距无限细分,一般是形状像“钟”的光滑曲线,即正态曲线. 问题3:正态分布描述的随机变量X是离散型的吗? 【答案】　 不是.它是连续的. 问题4:你能写出正态分布密度曲线的函数表达式吗?能从函数的角度分析它的图象特征吗? 【答案】　正态分布密度曲线的函数的【解析】式为φμ,σ(x)=,x∈(-∞,+∞),其中实数μ,σ(σ>0)为参数, 由函数表达式可知φ(x)>0,且函数φ(x)的图象关于直线x=μ对称. 新知生成 1.正态曲线 函数p(x)=,x∈(-∞,+∞),其中实数μ,σ(σ>0)为参数,我们称p(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线. 2.正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方,与x轴不相交; (2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称; (3)p(x)在x=μ处达到最大值; (4)当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴平移; (5)当μ一定时,σ越大,正态曲线越扁平,σ越小,正态曲线越尖陡; (6)曲线与x轴之间所夹区域的面积等于1. 3.标准正态分布 随机变量X为服从参数为μ和σ2的正态分布,简记为X~N(μ,σ2). 特别地,当μ=0,σ2=1时称为标准正态分布,其密度函数记为φ(x)=(-∞<x<+∞),其图象如图所示,简记为X~N(0,1),其分布函数记为φ(x). 新知运用 一、正态分布密度函数及正态曲线 例1　已知一个正态曲线如图所示,试根据该图象写出其正态密度函数的【解析】式,并求出总体随机变量的期望和方差. 方法指导　给出了一个正态曲线,就给出了该曲线的对称轴和最大值,从而就能求出总体随机变量的期望、标准差及【解析】式. 【解析】　从给出的正态曲线可知,该正态曲线关于直线x=20对称,最大值是,所以μ=20.由=,解得σ=2. 所以正态密度函数的【解析】式为f(x)=·,x∈R, 总体随机变量的期望μ=20,方差σ2=4. 【方法总结】　　利用图象求正态分布密度函数的【解析】式,应抓住图象的两个实质性特点:一是对称轴为直线x=μ;二是最大值为.这两点确定以后,相应的参数μ,σ的值便确定了,代入f(x)中便可求出相应的【解析】式. 二、正态曲线的性质 例2　某次我市高三教学质量检测中,甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多,成绩分布的直方图可视为正态分布),则由如图曲线可得下