3.2.4 离散型随机变量的方差 学案-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

3.2 课时4 离散型随机变量的方差 【学习目标】 1.通过具体实例,理解离散型随机变量的分布列及方差的概念.(数学抽象、数学运算) 2.能计算简单离散型随机变量的方差,并能解决一些实际问题.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 1.离散型随机变量的方差与样本的方差都是变量吗? 2.D(X)的取值范围是什么?若b为常数,则D(b)为何值? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)离散型随机变量的方差越大, 随机变量越稳定. (　　) (2)若a是常数, 则D(a)=0. (　　) (3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度. (　　) (4)D(X)=E((X-E(X))2). (　　) 2.已知随机变量X,D(X)=,则X的标准差为　　　　.  3.已知X的分布列为 X -1 0 1 P 0.5 0.3 0.2 求D(X). 4.在一次投篮游戏中,每人投篮3次,每投中1次记10分,没有投中扣5分,某人每次投中的概率为. (1)求此人恰好投中2次的概率; (2)求此人得分的方差. 【合作探究】 探究1　离散型随机变量的方差 　　要从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩纪录,第一名同学击中目标靶的环数X1的分布列为 X1 5 6 7 8 9 10 P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10 　　第二名同学击中目标靶的环数X2的分布列为 X2 5 6 7 8 9 P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33 　　问题1: E(X1),E(X2)各为何值? 问题2:能否根据X1和X2的均值来决定派哪名同学参赛? 问题3:除平均中靶环数外,还有其他刻画两名同学各自射击特点的指标吗? 问题4:如何定量刻画随机变量的稳定性? 新知生成 　　方差与标准差 若离散型随机变量X的分布列如下表: X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 　　则|xi-E(X)|描述了xi(i=1,2,…,n)相对于均值E(X)的偏离大小,而E{|X-E(x)|}表示平均偏离的大小,但由于绝对值运算在数学处理上有许多不便,于是用D(X)=E((X-E(X))2)=(xi-E(X))2pi来刻画随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.我们称D(X)为随机变量X的方差,其算术平方根为随机变量X的标准差,方差记作σ2,标准差记作σ. 随机变量的方差D(X)和标准差σ都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度.方差(标准差) 越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小;反之,方差(标准差)越大,则随机变量的取值越分散. 新知运用 例1　某小组共10人,利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会. (1)设事件A为“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率; (2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望与方差. 【方法总结】　　求离散型随机变量X的均值和方差的基本步骤:(1)理解X的意义,写出X的全部取值;(2)求X取每个值的概率;(3)写出X的分布列;(4)求E(X),D(X). 　　袋中有形状、大小完全相同的3个球,编号分别为1,2,3.有放回地从袋中取两次,每次取1个球,用X表示取出的2个球中的最大号码. (1)写出X的分布列; (2)求X的均值与方差. 探究2　方差的性质以及几个特殊分布的方差 问题1:若随机变量X~B(1,p),如何求方差D(X)? 问题2:我们知道,常数的期望是它本身,那么常数的方差是否是本身呢? 新知生成 1.若X~B(1,p),则D(X)=p(1-p). 2.若X~B(n,p),则D(X)=np(1-p). 3.若Y=aX+b,a,b为常数,则D(aX+b)=a2D(X). 新知运用 例2　设随机变量X~B(n,0.4),Y=X+2,若E(Y)=6,则D(Y)=　　　　　.  【方法总结】　　计算随机变量函数Y=aX+b的方差的方法:一种是先求Y的分布列,再求其均值,最后求方差;另一种是应用公式D(aX+b)=a2D(X)求解. 　　某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的方差为　　　　.  探究3　随机变量均值、方差的综合应用 　　A,B两台机床同时加工零件,每生产一批数量较大的产品时,出现次品的概率如下表: A机床 次品数X1 0