3.2.2 几个常用的分布 学案-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

3.2 课时2 几个常用的分布 【学习目标】 1.理解两点分布、二项分布、超几何分布的概念和应用.(数学抽象、数学建模) 2.利用两点分布、二项分布、超几何分布解决离散型随机变量的分布列问题.(数据分析、数学运算) 【自主预习】 1.什么情况下用两点分布来描述随机变量? 【答案】　当只考虑成功与否时,可以用两点分布来描述随机变量. 2.在n次独立重复试验中,各次试验的结果相互有影响吗? 【答案】　在n次独立重复试验中,各次试验的结果相互没有影响.因为每次试验是在相同条件下独立进行的. 3.满足二项分布的条件是什么? 【答案】　①每次试验都是在相同条件下进行的;②每次试验都只有两种可能的结果,即要么A发生,要么A不发生;③各次试验的结果是相互独立的,即一次试验中A发生与否,不会对其余各次试验中A发生的概率产生影响,即每次试验中P(A)保持不变. 4.设某试验成功的概率为p,将该试验独立重复n次,用X表示试验成功的次数,则X=k时的概率是多少? 【答案】　P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n. 5.超几何分布模型是放回抽样吗? 【答案】　不是,超几何分布模型是一种不放回抽样. 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在n重伯努利试验中,各次试验的结果相互没有影响. (　　) (2)在n重伯努利试验中,各次试验中某事件发生的概率可以不同. (　　) (3)超几何分布的模型是不放回抽样. (　　) 【答案】　(1)√　(2)×　(3)√ 2.某电子管的正品率为,次品率为,现对该批电子管进行测试,设第ξ次首次测到正品,则P(ξ=3)= (　　). A.2× B.2× C.2× D.2× 【答案】　C 【解析】　ξ=3表示第3次首次测到正品,而前两次都没有测到正品,故其概率是×. 3.某10人组成兴趣小组,其中有5名团员,从这10人中任选4人参加某种活动,用X表示4人中的团员人数,则P(X=3)=　　　　.　  【答案】　 【解析】　P(X=3)==. 4.一批产品中次品率为5%,随机抽取1件,定义X=求X的分布列. 【解析】　根据X的定义,知{X=1}=“抽到次品”,{X=0}=“抽到正品”,则P(X=0)=0.95,P(X=1)=0.05. 则X的分布列为 X 0 1 P 0.95 0.05 【合作探究】 探究1　两点分布 问题1:利用随机变量研究一类问题,如抽取的奖券是否中奖,买回的一件产品是否为正品,投篮是否命中等,这些问题有什么共同点? 【答案】　这些问题的共同点是随机试验只有两个可能的结果.定义一个随机变量,使其中一个结果对应1,另一个结果对应0,即可得到服从两点分布的随机变量. 问题2:只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布? 【答案】　不一定.如随机变量X的分布列为 X 2 5 P 0.3 0.7 　　X不服从两点分布,因为X的取值不是0或1. 新知生成 两点分布 如果随机变量X只取值0或1,且其概率分布是P(X=1)=p,P(X=0)=1-p,p∈(0,1),那么称随机变量X服从两点分布,记作X~B(1,p). 新知运用 例1　一批200件的待出厂产品中,有1件不合格品,现从中任意抽取2件进行检查,若用随机变量X表示抽取的2件产品中的不合格品数,求X的分布列. 【解析】　由题意知,X服从两点分布,P(X=0)==, 所以P(X=1)=1-=. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 P 【方法总结】　　两点分布的4个特点:(1)两点分布中只有两个对应结果,且两结果是对立的;(2)两点分布中的两结果一个对应1,另一个对应0;(3)由互斥事件的概率求法可知,已知P(X=0)(或P(X=1)),便可求出P(X=1)(或P(X=0));(4)在有多个结果的随机试验中,如果我们只关心一个随机事件是否发生,就可以利用两点分布来研究它. 某袋中装有10个红球,5个白球,从中摸出2个球,记X=求X的分布列. 【解析】　由题设知X服从两点分布,且P(X=0)==,P(X=1)=1-P(X=0)=. 所以X的分布列为 X 0 1 P 探究2　二项分布 　　“三个臭皮匠,顶个诸葛亮”,这是我们常说的口头禅,主要是说集体智慧的强大.假设李某智商较高,他独自一人解决项目M的概率P1=0.3;同时,有n个水平相同的人组成的智囊团也在研究项目M,他们各自独立解决项目M的概率都是0.1. 问题1:现在李某单独研究项目M,且智囊团由2个人组成,也同时研究项目M,试比较李某和智囊团解决项目M的概率. 【答案】　李某独自一人解决项目M的概率P1=0.3,智囊团研究项目M,他们各自独立解决项目M的概率都是0.1, 设这个2人智囊团解决项目M的